Question

如图，在平面直角坐标系中，已知OA=2，OC=4，⊙M与轴相切于点C，与轴交于A，B两点，∠ACD=90°，抛物线经过A，B，C三点．
（1）求证：∠CAO=∠CAD；
（2）求弦BD的长；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P使ΔPBC是以BC为腰的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）8；（3），，，．

试题分析：（1）利用切线的性质性质得出∠MCO=90°，进而得出∠OCA=∠MCD=∠MDC，再利用∠OCA+∠OAC=90°求出即可；
（2）利用圆周角定里以及平行线的性质，首先得出四边形COMN为矩形，进而求出BD=2MN；
（3）分别利用当CP=CB时，△PCB为等腰三角形，当BP=BC时，△PCB为等腰三角形，利用勾股定理求出即可．
（1）证明：如图1，连接MC，
∵⊙M与y轴相切于点C，∴CM⊥OC，
∴∠MCO=90°，
又∵∠ACD=90°
∴AD为⊙M的直径，
∵DM=CM，∠ACD+∠ADC=90°
∴∠MCD=∠MDC，
∵∠OCA+∠ACM=∠OCM=90°
∴∠MCD+∠ACM=90°
∴∠OCA=∠MCD=∠MDC
∵∠OCA+∠OAC=90°
∴∠OAC=∠CAD；

（2）解：如图1，过点M作MN⊥OB于点N，
由（1）可知，AD是⊙M的直径，
∴∠ABD=90°，
∵MN⊥AB，∴∠MNA=90°，
∴MN∥BD，
∴，
∵∠OCM=∠CON=∠MNO=90°，
∴四边形COMN为矩形，
∴MN=CO=4，
∴BD=2MN=8；
（3）解：抛物线的对称轴上存在点P，使ΔPBC是以BC为腰的等腰三角形.
在⊙M中，弧AC=弧AC，∴∠ADC=∠ABC,
由（1）知，∠ADC=∠OCA,
∴∠OCA=∠OBC
在Rt△CAO和Rt△BOC中，
tan∠OCA=
∴tan∠OBC=
∴OB=2OC=8
∴A（2,0），B（8,0）
∵抛物线经过A，B两点，
∴A，B关于抛物线的对称轴对称，其对称轴为直线：；
当CP=CB=5时，△PCB为等腰三角形，
在Rt△COB中，
如图，在Rt△CM中，

80－25=55
,
∴
同理可求的坐标是 
当BP=BC=5时，△PCB为等腰三角形，

∴ 
同理可得坐标为
∴符合条件的点P有四个，坐标分别为，，，．