Question

在平行四边形ABCD中，对角线AC⊥AB，∠BAC与∠ACB的角平分线交于点E，过E作EF∥BC分别交AC，DC于G，F，过E作EH∥AB分别交AC，AD于K，H．
（1）若∠B=60°，CF=2，求EG的长；
（2）求证：GF=GK+KH．

Answer 1

分析：（1）根据已知条件可证明CG=GE，在直角三角形GCE中利用60°角的正切值可求出GC的长，进而得到EG的长；
（2）过C作CM⊥EF交EF于M，首先证明△CMG≌△EKG，可得到MG=GK，CM=EK，再证明△CMF≌△AKH，可得到FM=KH，因为GF=FM+MG，所以GF=GK+KH．

解答：（1）解：∵EF∥BC，CE为∠CAB的角平分线，
∴∠AGE=∠CGF=2∠BCE，
∵∠AGE=∠ACE+∠CEG，
∴∠ACE=∠CEG，
∴GC=GE，
在直角三角形GCF中，GC=tan60°×FC=2

3

，
∴GE=2

3

；
  
（2）证明：过C作CM⊥EF交EF于M，
由（1）知GC=GE，
∵∠CGF=∠AGE，
在△CMG与△EKG中，

∠CMG=∠EKG ∠KGE=∠CGM CG=EG

，
∴△CMG≌△EKG（AAS），
∴MG=GK，CM=EK，
∵EF∥AD，EH∥AB∥DC，
∴∠CFM=∠D=∠KHA，
又∵∠FCA=∠HKA=90°，CM=EK，
在△CMF与△AKH中，

∠CFM=∠KHA ∠FCA=∠HKA CM=EK

，
∴△CMF≌△AKH（AAS），
∴FM=KH，
∵GF=FM+MG，
∴GF=GK+KH．

点评：本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形得有关知识以及全等三角形的判定和性质，题目的综合性很强，难度中等．