Question

（1）观察图1，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A=50°，则∠ABX+∠ACX=

40°

．
②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=50°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数；
③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G₁、G₂、…、G₉，若∠BDC=140°，∠BG₁C=77°，直接写出∠A的度数为

70°

．

Answer 1

分析：（1）根据题意观察图形连接AD并延长至点F，由外角定理可知，一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，则容易得到∠BDC=∠BDF+∠CDF；
（2）①由（1）的结论可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，然后把∠A=50°，∠BXC=90°代入上式即可得到∠ABX+∠ACX的值．
②结合图形可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，代入∠DAE=50°，∠DBE=130°即可得到∠ADB+∠AEB的值，再利用上面得出的结论可知∠DCE=

1

2

（∠ADB+∠AEB）+∠A，易得答案．
③由（2）的方法，进而可得答案．

解答：解：（1）∠BDC=∠A+∠B+∠C．
理由如下：
连接AD并延长到E点
∵∠BDE=∠BAE+∠B
∠EDC=∠EAC+∠C
∴∠BDE+∠EDC=∠BAE+∠EAC+∠B+∠C
∵∠BDC=∠BDE+∠EDC
∠BAC=∠BAE+∠EAC
∴∠BDC=∠BAC+∠B+∠C

（2）①由（1）的结论易得：∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，
又因为∠A=50°，∠BXC=90°，
所以∠ABX+∠ACX=90°-50°=40°；
故答案是：40°；

②由（1）的结论易得∠DBE=∠A+∠ADB+∠AEB，易得∠ADB+∠AEB=80°；
而∠DCE=

1

2

（∠ADB+∠AEB）+∠A，
代入∠DAE=50°，∠DBE=130°，易得∠DCE=90°；

③如图4，∠BG₁C=

1

10

（∠ABD+∠ACD）+∠A，
∵∠BG₁C=77°，
∴设∠A为x°，
∵∠ABD+∠ACD=140°-x°
∴

1

10

（140-x）+x=77，
14-

1

10

x+x=77，
x=70
∴∠A为70°．
故答案是：70°．

点评：本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．