Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC，∠ABC=90°，顶点A在第一象限，顶点B、C在x轴的正半轴上（C在B的右侧），，△ADC与△ABC关于AC所在的直线对称.

（1）当OB=2时，求点D的坐标.

（2）若点和点在同一个反比例函数图象上，求的长.

Answer 1

【答案】（1）点的坐标是；（2）的长为3

【解析】

（1）过点作轴于点，利用∠ACB的正切值可求出∠ACB的度数，根据轴对称的性质可得DC=BC，∠ACD=∠ACB，利用平角定义可求出∠DCE的度数，利用∠DCE的三角函数可求出CE和DE的长，根据OE=OB+BC+CE可求出OE，即可得点D坐标；（2）设，可用a表示出点A坐标，由（1）得CE、DE的长，可用a表示出点D坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征列方程求出a的值即可得答案.

（1）如图，过点作轴于点，

∵，

∴，

∴，

∵△ADC与△ABC关于AC所在的直线对称，

∴DC=BC=2，∠ACD=∠ACB=60°，

∴∠DCE=180°-60°-60°=60°，

∴CE=CD·cos∠DCE=1，DE=CD·sin∠DCE=，

∴，

∴点的坐标是.

（2）设，则点的坐标是，

由（1）得：，

∵BC=2，

∴OE=a+2+1=3+a，

∴点的坐标是，

∵点和点在同一个反比例函数的图象上，

∴，

解得：，即的长为3.