Question

如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，作∠ABC的平分线交AC、CD于点E、F．
（1）求证：CE=CF；
（2）如图2，过点F作FG∥AB交AC于点G，若AC=10，EG=4，求CE的长度．

Answer 1

分析：（1）根据直角三角形的两锐角互余可知∠CBE+∠BEC=90°，∠BFD+∠DBF=90°，再根据角平分线的定义可知∠CBE=∠DBF，从而求出∠BFD=∠BEC，又对顶角相等，然后根据等角对等边可得CE=CF；
（2）过点G作GM⊥AD于点M，过点F作FN⊥BC于点N，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得FD=NF，然后证明四边形GFDM是矩形，根据矩形的对边相等可得GM=DF，然后利用角角边证明△AGM与△CFN全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=AG，从而可得AG=CE，然后利用AC=CE+EG+AG代入数据求解即可．

解答：（1）证明：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠CBE+∠BEC=90°，∠BFD+∠DBF=90°，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠CBE=∠DBF，
∴∠BFD=∠BEC，
又∵∠BFD=∠CFE（对顶角相等），
∴∠BEC=∠CFE，
∴CE=CF；

（2）解：如图，过点G作GM⊥AD于点M，过点F作FN⊥BC于点N，
则∠CNF=∠AMG=90°，
∵BE是∠ABC的平分线，CD⊥AB，
∴FD=NF，
又∵FG∥AB，
∴四边形GFDM是矩形，
∴GM=DF，
∴GM=NF，
∵∠A+∠ABC=90°，∠BCD+∠ABC=90°，
∴∠A=∠BCD，
在△AGM与△CFN中，

∠A=∠BCD ∠CNF=∠AMG=90° GM=DF

，
∴△AGM≌△CFN（AAS），
∴CF=AG，
根据（1）可知CE=CF，
∴CE=AG，
∵AC=10，EG=4，
∴CE+EG+AG=2CE+4=10，
解得CE=3．

点评：本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，（2）中作辅助线构造出全等三角形求出CE=AG是解题的关键，也是本题的难点．