Question

已知在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=2PD，PC=2PB，∠ADP=∠PCD，PD=PC=4，如图1．
（1）求证：PD∥BC；
（2）若点Q在线段PB上运动，与点P不重合，连接CQ并延长交DP的延长线于点O，如图2，设PQ=x，DO=y，求y与x的函数关系式，并写出它的定义域；
（3）若点M在线段PA上运动，与点P不重合，连接CM交DP于点N，当△PNM是等腰三角形时，求PM的值．

Answer 1

分析：（1）由AB∥DC与AD=2PD，PC=2PB，根据由两边对应边成比例，且夹角相等，易得△ADP∽△CPB，即可得到∠APD=∠B，则得到PD∥BC；
（2）易得四边形PBCD是平行四边形，则可得PB的长，又由OD∥BC，根据平行线分线段成比例定理，利用方程思想，即可求得y与x的函数关系式；
（3）分别从①当PM=PN时，②当MP=MN时分析，由相似三角形的性质，即可求得结果．

解答：（1）证明：∵AB∥DC，
∴∠CPB=∠PCD，
∵∠ADP=∠PCD，
∴∠ADP=∠CPB，
∵AD=2PD，PC=2PB，
∴

PD

PB

=

AD

PC

，
∴△ADP∽△CPB，
∴∠APD=∠B，
∴PD∥BC；

（2）解：∵AB∥DC，PD∥BC，
∴四边形PBCD是平行四边形，
∴PD=BC，
∵PD=PC=4，
∴BC=4，
∵PC=2PB，
∴PB=2，
∵OD∥BC，
∴

PO

BC

=

PQ

QB

，
∵PQ=x，DO=y，
∴PO=y-4，QB=2-x，
∴

y-4

4

=

x

2-x

，
∴y=

8

2-x

，
定义域是：0＜x＜2；

（3）解：①当PM=PN时，
∵PM∥DC，
∴

DC

PM

=

DN

PN

，
∴DC=DN；
由（2）知：PD=4，DC=2，
∴PM=PN=PD-DN=2，
②当MP=MN时，
∵△ADP∽△CPB，PC=BC=4，
易得：AP=AD=2PD=8，
易证：MN∥AD，
即：四边形AMCD是平行四边形，
∴DC=AM=2，
∴PM=AP-AM=6．
（注：因为梯形ABCD不是等腰梯形，所以当NM=NP时不存在）
 综上所述：PM的值为2或6．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，以及平行四边形的判定与性质等．此题图形变化比较多，要注意数形结合思想的应用．此题难度较大，解题时需仔细分析．