Question

【题目】如图，抛物线与轴相交于两点（点位于点的左侧），与轴相交于点，是抛物线的顶点，直线是抛物线的对称轴，且点的坐标为．

（1）求抛物线的解析式．

（2）已知为线段上一个动点，过点作轴于点．若的面积为．

①求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

②当取得最值时，求点的坐标．

（3）在（2）的条件下，在线段上是否存在点，使为等腰三角形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②当时，取得最大值，此时；（3）存在，点的坐标为或．

【解析】

（1）点C坐标代入解析式可求c的值，由对称轴可求b的值，即可求解；
（2）①先求出点M，点A，点B的坐标，利用待定系数法可求BM解析式，由三角形的面积公式可求解；
②利用二次函数的性质可求解；
（3）分三种情况讨论，利用两点距离公式列出方程可求解．

（1）抛物线的对称轴为直线．

又抛物线与轴的交点为，

抛物线的解析式为．

（2）①顶点．

设直线的解析式为．

将代入，

得解得

直线的解析式为．

轴且，

的面积．

点在线段上，且，

，

故与之间的函数关系式为．

②，

当时，取得最大值；

当时，没有最小值．

综上，当时，取得最大值，此时

（3）存在．

当时，

，

，

解得（舍去）或，此时．

当时，

解得（舍去）或，此时．

当时，

，

，

解得或，均不符合题意，舍去．

综上所诉，存在点使为等腰三角形，点的坐标为或．