Question

【题目】已知如图，在数轴上点， 所对应的数是， ．

对于关于的代数式，我们规定：当有理数在数轴上所对应的点为之间（包括点， ）的任意一点时，代数式取得所有值的最大值小于等于，最小值大于等于，则称代数式，是线段的封闭代数式．

例如，对于关于的代数式，当时，代数式取得最大值是；当时，代数式取得最小值是，所以代数式是线段的封闭代数式．

问题：（）关于代数式，当有理数在数轴上所对应的点为之间（包括点， ）的任意一点时，取得的最大值和最小值分别是__________．

所以代数式__________（填是或不是）线段的封闭代数式．

（）以下关的代数式：

①；②；③；④．

是线段的封闭代数式是__________，并证明（只需要证明是线段的封闭代数式的式子，不是的不需证明）．

（）关于的代数式是线段的封闭代数式，则有理数的最大值是__________，最小值是__________．

Answer 1

【答案】（）见解析（）④（）；

【解析】试题分析：（1）观察数轴，当时， 取得最大值为，当时， 取得最小值为，所以代数式不是线段的封闭代数式；

（2）按照封闭代数式的定义，逐个分析即可；

（3）观察代数式可知，当时， 取得最大值为，列方程求出x的值；当时，

取得最小值为，列方程求出x的值；然后从中选出最大的和最小的.

（）解：当时， 取得最大值为，

当时， 取得最小值为，

∵的最大值，

∴不是线段的封闭代数式．

（）证明：①∵ ，

∵，

∴，

∵的最小值为，不满足最小值大于等于，

∴不是线段的封闭代数式．

②当时，

代数式取得最大值，不满足最大值小于等于，

∴不是线段的封闭代数式．

③当时，

代数式取得最大值，不满足最大值小于等于，

∴不是线段的封闭代数式．

④当时，

原式

，

当时，

原式

，

∴，

当时，

原式

，

综上所述： 满足最大值小于等于，最小值大于等于，

∴是线段的封闭代数式．

（）当时，

取得最大值为，

则或，

∴或，

当时，

取得最小值为，

则或，

∴或，

综上所述： 的最大值为，最小值为．

点睛:本题考查了信息迁移类题目的解答，用到了数轴上两点间的距离，解绝对值方程等知识点和分类讨论的数学思想；正确理解“封闭代数式”的意义是解答本题的关键.