Question

如图，四边形OABC是面积为4，且在第一象限内的一个正方形，一反比例函数图象经过点B．
（1）求此反比例函数的解析式．
（2）点P是反比例函数上异于B点的任意一点，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足为E，F，得到长方形OEPF．若设该长方形与正方形OABC不重叠的部分的面积为s，当s=2时，求点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）设所求的反比例函数的解析式为y=

k

x

，先利用正方形的性质得出OA=AB=2，则B点坐标为（2，2）；再把B点坐标代入，运用待定系数法即可求出此反比例函数的解析式；
（2）设P点（m，n）是反比例函数上异于B点的任意一点，则mn=4．分两种情况讨论：①点P在点B的左侧即0＜m＜2；②点P在点B的右侧即m＞2．针对这两种情况，都可知该长方形与正方形OABC不重叠的部分为一个矩形，然后根据此矩形的面积为2列出方程，解方程即可．

解答：解：（1）设所求的反比例函数的解析式为y=

k

x

．
∵正方形OABC的面积为4，
∴OA=AB=2，
∴B点坐标为（2，2）．
把B（2，2）代入y=

k

x

，得k=2×2=4，
∴此反比例函数的解析式为y=

4

x

；

（2）如图，设P点（m，n）是反比例函数上异于B点的任意一点．
∵P（m，n）在y=

4

x

的图象上，
∴mn=4．
∵点P在第一象限内，异于B点，
∴m＞0且m≠2，
∴分两种情况：
①点P在点B的左侧即0＜m＜2，
则S=PF•FC=m（n-2）=mn-2m=4-2m=2，
解得m=1，则n=4，
∴P点坐标为（1，4）；
②点P在点B的右侧即m＞2，
S=AE•PE=（m-2）•n=mn-2n=4-2n=2，
解得n=1，则m=4，
∴P点坐标为（4，1）．
所以点P的坐标为（1，4）或（4，1）．

点评：本题考查了反比例函数的综合题的解法：利用待定系数法确定反比例的解析式，那么图象上所有点的横纵坐标的乘积为定值．也考查了矩形的性质以及分类讨论思想的运用．