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    阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形A1B1C1D1是矩形ABCD的“减半”矩形．

    请你解决下列问题：
    （1）当矩形的长和宽分别为1，2时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并请说明理由；
    （2）边长为a的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，说明理由．
    【答案】分析：（1）假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为x、y，根据如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，可列出方程组求解．
    （2）正方形和其他的正方形是相似图形，周长比是2，面积比就应该是4，所以不存在“减半”正方形．
    解答：解：（1）不存在．（1分）
    假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为x、y，
    则，（3分）
    由①得：y=-x③，
    把③代入②得：x2-x+1=0，
    b2-4ac=-4＜0，（5分）
    所以不存在；

    （2）不存在．（6分）
    因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为时，面积比必定是，
    所以正方形不存在“减半”正方形．（10分）
    点评：本题考查反证法和相似图形的性质，关键知道相似图形的面积比，周长比的关系．
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    （1）当矩形的长和宽分别为1,2时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并请说明理由;
    （2）边长为的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，说明理由.

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    （2）边长为的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，说明理由.

     

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