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    对四边形的观察与探索

    　　四边形是大家最熟悉的图形之一，我们已经发现了它的许多性质．只要善于观察、乐于探索，我们还会发现更多的结论．

    　　问题的提出：四边形一条对角线上任意一点与另外两个顶点的连线，将四边形分成四个三角形，其中相对的两对三角形的面积之积有何关系？你能探索出结论吗？

    (1)为了更直观的发现问题，我们不妨先在特殊的四边形－－平行四边形中，研究这个问题：

    已知：在ABCD中，O是对角线BD上任意一点(如图)，求证：S△OBC·S△OAD＝S△OAB·S△OCD

    (2)有了(1)中的探索过程作参照，你一定能类比出在一般四边形(如图)中，解决问题的办法了吧！填写结论并写出证明过程．

    已知：在四边形ABCD中，O是对角线BD上任意一点(如图)

    求证：________________

    (3)在三角形中(如图)，你能否归纳出类似的结论？若能，用文字叙述你归纳出的结论，并写出已知、求证和证明过程；若不能，说明理由．

    答案：
    解析：

    　　(1)证明：如图，分别过点A、C作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，则有

    　　S△OBC＝·OB·CF，S△OAD＝·OD·AE，

    　　S△OAB＝·OB·AE，S△OCD＝·OD·CF，

    　　∴S△OBC·S△OAD＝·OB·OD·CF·AE，

    　　S△OAB·S△OCD＝·OB·OD·CF·AE，

    　　∴S△OBC·S△OAD＝S△OAB·S△OCD．

    　　(2)结论：S△OBC·S△OAD＝S△OAB·S△OCD．

    　　证明：如图，分别过点A、C作AE⊥DB交DB的延长线于E，CF⊥BD于F，则有：

    　　S△OBC＝·OB·CF，S△OAD＝·OD·AE，

    　　S△OAB＝·OB·AE，S△OCD＝·OD·CF，

    　　∴S△OBC·S△OAD＝·OB·OD·CF·AE，

    　　S△OAB·S△OCD＝·OB·OD·CF·AE，

    　　∴S△OBC·S△OAD＝S△OAB·S△OCD．

    　　(3)答：能．

    　　从三角形的一个顶点与对边上任意一点的连线上任取一点，与三角形的另外两个顶点的连线，将三角形分成四个小三角形，其中相对两对三角形的面积之积相等．

    　　即：S△OBC·S△OAD＝S△OAB·S△OCD．

    　　已知：在△ABC中，D为AC上任一点，O为BD上任一点．

    　　求证：S△OBC·S△OAD＝S△OAB·S△OCD．

    　　证明：如图，分别过点A、C，作AE⊥DB，交BD的延长线于E，CF⊥BD于F，则有：

    　　S△OBC＝·OB·CF，S△OAD＝·OD·AE，

    　　S△OAB＝·OB·AE，S△OCD＝·OD·CF，

    　　∴S△OBC·S△OAD＝·OB·OD·CF·AE，

    　　S△OAB·S△OCB＝·OB·OD·CF·AE，

    　　S△OBC·S△OAD＝S△OAB·S△OCD．


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    求证：S△OBC•S△OAD=S△OAB•S△OCD；
    （2）在三角形中（如图②），你能否归纳出类似的结论？若能，写出你猜想的结论，并证明：若不能，说明理由．
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    科目：初中数学 来源：2004年山东省青岛市中考数学试卷（2）（解析版） 题型：解答题

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    已知：在四边形ABCD中，O是对角线BD上任意一点．（如图①）
    求证：S△OBC•S△OAD=S△OAB•S△OCD；
    （2）在三角形中（如图②），你能否归纳出类似的结论？若能，写出你猜想的结论，并证明：若不能，说明理由．

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