Question

已知：如图，在△ABC中，D为AB边上一点，∠A=36°，AC=BC，AC²=AB•AD．
（1）试说明：△ADC和△BDC都是等腰三角形；（2）若AB=1，求AC的值；
（3）试构造一个等腰梯形，该梯形连同它的两条对角线，得到了8个三角形，要求构造出的图形中有尽可能多的等腰三角形．（标明各角的度数）

Answer 1

解：（1）在△ABC中，AC=BC，
∴∠B=∠A=36°，∠ACB=108°
在△ABC与△CAD中，∠A=∠B=36°
∵AC²=AB•AD
∴
∴△ABC∽△CAD
∴∠ACD=∠A=36°
∴∠CDB=72°，∠DCB=108°-36°=72°
∴△ADC和△BDC都是等腰三角形

（2）设AC=x，则x²=1×（1-x）
即x²+x-1=0，
∴x=，
∴AC=；

（3）说明：按照画出的梯形中，有4个，6个和8个等腰三角形三种情况分别给分
①有4个等腰三角形得（1）；
②有6个等腰三角形，得（2）；
③有8个等腰三角形，得（3）．
分析：（1）根据等腰三角形的判断（等角对等边），通过证明△ABC∽△CAD得出对应角相等得出△ADC和△BDC都是等腰三角形；（2）由（1）知BD=BC=AC，及AC²=AB•AD，可以求AC的值；
（3）等腰梯形的性质，结合等腰三角形的判定，上底=腰，底角=72°的等腰梯形有8个等腰三角形．
点评：本题考查等腰三角形的判定和性质及相似三角形的性质的综合运用．