Question

【题目】如图，，点为直线上一定点，为直线上的动点，在直线与之间且在线段的右方作点，使得．设为锐角)．

(1)求与的和；(提示过点作

(2)当点在直线上运动时，试说明；

(3)当点在直线上运动的过程中，若平分，也恰好平分，请求出此时的值

Answer 1

【答案】（1）∠NAD＋∠PBD=90°；（2）见解析；（3）30°

【解析】

（1）过点D作EF∥MN，根据平行于同一条直线的两直线平行，可得EF∥OP，从而得出∠NAD=∠ADE，∠PBD=∠BDE，然后根据垂直的定义可得∠ADE＋∠BDE=90°，然后利用等量代换即可得出结论；

（2）将（1）的结论变形可得∠PBD=90°－∠NAD，然后根据平角的定义和等量代换即可证出结论；

（3）根据角平分线的定义可得∠NAD=，∠NAB=2，∠OBD=2∠OBA，然后根据平行线的性质可得∠OBA=∠NAB=，从而求出∠OBD=，最后根据（2）的结论列方程即可求出结论．

解：（1）过点D作EF∥MN，如下图所示

∵

∴EF∥OP

∴∠NAD=∠ADE，∠PBD=∠BDE

∵

∴∠ADB=90°

∴∠ADE＋∠BDE=∠ADB=90°

∴∠NAD＋∠PBD=90°

（2）∵∠NAD＋∠PBD=90°

∴∠PBD=90°－∠NAD

∵∠OBD＋∠PBD=180°，

∴∠OBD＋90°－∠NAD=180°

∴；

（3）∵平分，也恰好平分，

∴∠NAD=，∠NAB=2，∠OBD=2∠OBA

∵

∴∠OBA=∠NAB=

∴∠OBD=

由（2）知

即

解得：