Question

直线y=k₁x+b与双曲线只有一个交点A（1，2），且与x轴、y轴分别交于B、C两点，AD垂直平分OB，垂足为D．求：
（1）直线、双曲线的解析式．
（2）线段BC的长．

Answer 1

解：（1）∵A（1，2）在双曲线上，
∴，
∴k₂=2，
∴双曲线的解析式为：；
∵AD垂直平分OB，
∴OB=2OD，D（1，0），
∴OD=1，
∴OB=2，
∴B（2，0），
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为：y=-2x+4；

（2）∵y=-2x+4，
∴x=0时，y=4，
∴C（0，4），
∴OC=4，
在Rt△BOC中，由勾股定理得：
BC==2．
分析：（1）先把点A（1，2）代入双曲线的解析式求出k2的值就可以求出双曲线的解析式，由AD垂直平分OB，可知D（1，0），就可以求出OD=1，求得OB=2，就可以求出B点的坐标，从而求出直线的解析式；
（2）根据（1）的解析式，求出 点C的坐标，求出OC的值，再根据勾股定理就可以求出BC的值．
点评：本题考查了待定系数法求双曲线的解析式，一次函数的解析式的运用，勾股定理的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键．