Question

已知二次函数的图象的顶点坐标为（3，-2）且与y轴交于（0，

5

2

）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求此抛物线与x轴的交点，并分别直接写出当y＞0和y＜0时x的取值范围；
（3）若抛物线经过点（2，y₁），（-1，y₂），（

1

2

，y₃），试比较y₁，y₂，y₃的大小．（直接写出结果）

Answer 1

分析：（1）设二次函数顶点式解析式y=a（x-3）²-2，然后把与y轴的交点坐标代入函数解析式求出a的值，即可得解；
（2）令y=0，解关于x的一元二次方程即可得到与x轴的交点坐标，然后根据函数图象写出不等式的解集；
（3）根据二次函数图象上点的坐标特征求出y₁，y₂，y₃的值，即可比较大小．

解答：解：（1）∵二次函数的图象的顶点坐标为（3，-2），
∴设抛物线解析式为y=a（x-3）²-2，
将点（0，

5

2

）代入得9a-2=

5

2

，
解得a=

1

2

，
∴此抛物线的解析式y=

1

2

（x-3）²-2；
图象为：


（2）令y=0，则

1

2

（x-3）²-2=0，
∴x-3=2或x-3=-2，
解得x=5或x=1，
所以，抛物线与x轴的交点为（1，0）和（5，0），
由图形可知，y＞0时，x＜1或x＞5；
y＜0时，1＜x＜5；

（3）当x₁=2时，y₁=

1

2

（2-3）²-2=-

3

2

，
当x₂=-1时，y₂=

1

2

（-1-3）²-2=6，
当x₃=

7

2

时，y₁=

1

2

（

7

2

-3）²-2=-

15

8

，
所以，y₂＞y₁＞y₃．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点的求解，二次函数与不等式的关系，以及二次函数图象上点的坐标特征，（1）利用顶点式解析式求解更加简便．