Question

【题目】如图，已知ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，BC＝m，E为BC边上的动点，连结AE，作点B关于直线AE的对称点F．

（1）若m＝6，①当点F恰好落在∠BCD的平分线上时，求BE的长；

②当E、C重合时，求点F到直线BC的距离；

（2）当点F到直线BC的距离d满足条件：2﹣2≤d≤2+4，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）①BE＝10﹣2；②；（2）4﹣4≤m≤8+4

【解析】

（1）①过F作FT⊥BC于T，延长BA交∠BCD的平分线于G，连接BF，EF，AF，由平行四边形性质可得：△BCG，△CDH均为等边三角形，AG=AH=2，再由B、F关于直线AE对称，可证得：△CEF∽△GFA，再结合勾股定理可求得BE的长；
②设BF交AC于T，过T作TR⊥BC于R，过F作FH⊥BC于H，过A作AG⊥BC于G，可求得BG、AG、GH、AC，再由面积法可求得BT、BF，再证明△BTR∽△BFH，结合勾股定理即可求得点F到直线BC的距离；
（2）先找出d的最大值的情形，画出图形，由d的最大值可求得m的最大值再根据d的最小值求得m的最小值，即可得m的范围．

解：（1）①如图1，过F作FT⊥BC于T，延长BA交∠BCD的平分线于G，连接BF，EF，AF，

∵ABCD，

∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，

∵∠ABC＝60°，

∴∠BCD＝120°，∠ADC＝60°，

∵CG平分∠BCD，

∴∠BCG＝∠DCG＝60°

∴△BCG，△CDH均为等边三角形，

∴CG＝BC＝BG＝6，∠G＝60°，DH＝CD＝4，

∴AG＝AH＝2，

∵B、F关于直线AE对称，

∴AF＝AB＝4，EF＝BE，∠AFE＝∠ABC＝60°，

∴∠AFG+∠CFE＝120°，∠AFG+∠FAG＝120°，

∴∠CFE＝∠FAG，

∴△CEF∽△GFA，

∴，即：CF＝EF，设BE＝EF＝x，则CF＝x，

∵∠CFT＝30°，

∴CT＝CF＝x，FT＝x，

∵ET2+FT2＝EF2，

∴，

解得：x1＝10+ （不符合题意，舍去），x2＝10﹣，

∴BE＝10﹣2，

②如图2，设BF交AC于T，过T作TR⊥BC于R，过F作FH⊥BC于H，过A作AG⊥BC于G，连接AF，FC，

∵∠AGB＝90°，∠ABC＝60°，

∴∠BAG＝30°

∴BG＝ AB＝2，AG＝2，GC＝BC﹣BG＝4，

∴AC＝，

∵B、F关于AC对称，

∴BF⊥AC，BT＝TF，

由△ABC面积公式可得BTAC＝AGBC，

即BT＝2×6，

∴BT＝，BF＝，

在Rt△BCT中，CT＝，

∵TRBC＝BTCT，即6TR＝，

∴TR＝，

∵TR⊥BC，FH⊥BC，

∴TR∥FH，

∴△BTR∽△BFH，

∴，

∴FH＝2TR＝，

故点F到直线BC的距离为；

（2）如图3，作AG⊥BC于G，

当点F、A、G三点共线时，点F到直线BC的距离d最大，

此时点E与点C重合，FG＝2 +4，

由（1）知，BG＝2，AG＝2 ，

∴BF＝，

∴BH＝BF＝，

∵∠BHC＝∠BGF＝90°，∠CBH＝∠FBG，

∴△CBH∽△FBG，

∴，即，

解得：m＝8+4 ，

∴m的最大值为8+4 ，

如图4，作AG⊥BC于G，FH⊥BC于H，FR⊥AG于R，连接AF，

设BF交AC于T，

则AG＝2 ，BG＝2，CG＝BC﹣BG＝m-2，

此时点E与点C重合，FH＝﹣2，

显然，FHGR是矩形，

∴RG＝FH＝﹣2， AR＝AG﹣RG＝2，

∵B、F关于AC对称，

∴BF⊥AC，BT＝TF，AF＝AB＝4，

∴RF＝GH＝，

∴BH＝BG+GH＝2+ ，

∴BF＝，

∴BT＝TF＝BF＝2，

∵△BCT∽△BFH，

∴，即，

解得m＝4 ﹣4，

∴m的最小值为4 ﹣4，

综上所述，4﹣4≤m≤8+4．