练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图1，两个等腰直角三角板ABC和DEF有一条边在同一条直线l上，DE=2，AB=1．将直线EB绕点E逆时针旋转45°，交直线AD于点M．将图1中的三角板ABC沿直线l向右平移，设C、E两点间的距离为k．
    解答问题：
    （1）①当点C与点F重合时，如图2所示，可得
    AM
    DM
    的值为
    1
    1
    ；②在平移过程中，
    AM
    DM
    的值为
    k
    2
    k
    2
    （用含k的代数式表示）；
    （2）将图2中的三角板ABC绕点C逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变．当点A落在线段DF上时，如图3所示，请补全图形，计算
    AM
    DM
    的值；
    （3）将图1中的三角板ABC绕点C逆时针旋转α度，0＜α≤90，原题中的其他条件保持不变．计算
    AM
    DM
    的值（用含k的代数式表示）．
    分析：（1）①根据题意可得EM垂直平分DF，直线AF∥EM，从而
    AM
    DM
    转化为
    DO
    OF
    ，继而得出结论；②仿照①的思路进行求解即可；
    （2）先补全图形，连接AE，分别求出AM及DM的值，然后可确定比值．
    （3）先画出图形，然后证明△ABG≌△CBE，继而推出AG∥DE，△AGM∽△DEM，利用相似三角形的性质即可得出答案．
    解答：解：（1）①如图，

    ∵∠MEB=45°，∠AFB=45°，
    ∴EM垂直且平分DF，AF∥EM，
    ∴
    AM
    DM
    =
    FO
    OD
    =1；
    ②如图

    由①可得
    AM
    DM
    =
    HO
    OD
    =
    HO
    OF
    =
    EC
    EF
    =
    k
    2
    ；

    （2）连接AE，

    ∵△ABC，△DEF均为等腰直角三角形，DE=2，AB=1，
    ∴EF=2，BC=1，∠DEF=90°，∠4=∠5=45°
    ∴DF=2
    		2
    ，AC=
    		2
    ，∠EFB=90°，
    ∴DF=2AC，AD=
    		2
    ，
    ∴点A为CD的中点，
    ∴EA⊥DF，EA平分∠DEF，
    ∴∠MAE=90°，∠AEF=45°，AE=
    		2
    ，
    ∵∠BEM=45°，
    ∴∠1+∠2=∠3+∠2=45°，
    ∴∠1=∠3，
    ∴△AEM∽△FEB，
    ∴
    AM
    BF
    =
    AE
    EF
    ，
    ∴AM=
    		2
    2
    ，
    ∴DM=AD-AM=
    		2
    -
    		2
    2
    =
    		2
    2
    ，
    ∴
    AM
    DM
    =1    ．

    （3）过B作BE的垂线交直线EM于点G，连接AG、BG，
    ，
    ∴∠EBG=90°，
    ∵∠BEM=45°，
    ∴∠EGB=∠BEM=45°，
    ∴BE=BG，
    ∵△ABC为等腰直角三角形，
    ∴BA=BC，∠ABC=90°，
    ∴∠1=∠2，
    ∴△ABG≌△CBE，
    ∴AG=EC=k，∠3=∠4，
    ∵∠3+∠6=∠5+∠4=45°，
    ∴∠6=∠5，
    ∴AG∥DE，
    ∴△AGM∽△DEM，
    ∴
    AM
    DM
    =
    AG
    DE
    =
    k
    2
    ．
    点评：本题考查了相似形综合题，涉及了相似三角形的判定与性质、平行线的性质、旋转的性质及等腰直角三角形的性质，考察的知识点比较多，难度较大，解答本题之前一定要将图形画出来，这样可以使我们的思考方向更准确一些，另外要求我们熟练掌握各个基础知识点的内容．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    30、如图1，两个不全等的等腰直角三角形OAB和OCD叠放在一起，并且有公共的直角顶点O．
    （1）在图1中，你发现线段AC、BD的数量关系是
    相等
    ；直线AC、BD相交成角的度数是
    90°
    ．
    （2）将图1的△OAB绕点O顺时针旋转90°角，在图2中画出旋转后的△OAB．
    （3）将图1中的△OAB绕点O顺时针旋转一个锐角，连接AC、BD得到图3，这时（1）中的两个结论是否成立？作出判断并说明理由．若△OAB绕点O继续旋转更大的角时，结论仍然成立吗？作出判断，不必说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2011•裕华区二模）如图①，将两个等腰直角三角形叠放在一起，使上面三角板的一个锐角顶点与下面三角板的直角顶点重合，并将上面的三角板绕着这个顶点逆时针旋转，在旋转过程中，当下面三角板的斜边被分成三条线段时，我们来研究这三条线段之间的关系．
    （1）实验与操作：
    如图②，如果上面三角板的一条直角边旋转到CM的位置时，它的斜边恰好旋转到CN的位置，请在网格中分别画出以AM、MN和NB为边长的正方形，观察这三个正方形的面积之间的关系；
    （2）猜想与探究：
    如图③，在Rt△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，M、N是AB边上的点，∠MCN=45°，作DA⊥AB于点A，截取DA=NB，并连接DC、DM．
    我们来证明线段CD与线段CN相等．
    ∵∠CAB=∠CBA=45°，又DA⊥AB于点A，
    ∴∠DAC=45°，∴∠DAC=∠CBA，
    又∵DA=NB，BC=AC，
    ∴△CAD≌△CBN．
    ∴CD=CN．

    请你继续解答：
    ①线段MD与线段MN相等吗？为什么？
    ②线段AM、MN、NB有怎样的数量关系，为什么？
    （3）拓广与运用：
    如图④，已知线段AB上任意一点M（AM＜MB），是否总能在线段MB上找到一点N，使得分别以AM与BN为边长的正方形的面积的和等于以MN为边长的正方形的面积？若能，请在图④中画出点N的位置，并简要说明作法；若不能，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    如图①，将两个等腰直角三角形叠放在一起，使上面三角板的一个锐角顶点与下面三角板的直角顶点重合，并将上面的三角板绕着这个顶点逆时针旋转，在旋转过程中，当下面三角板的斜边被分成三条线段时，我们来研究这三条线段之间的关系．
    （1）实验与操作：
    如图②，如果上面三角板的一条直角边旋转到CM的位置时，它的斜边恰好旋转到CN的位置，请在网格中分别画出以AM、MN和NB为边长的正方形，观察这三个正方形的面积之间的关系；
    （2）猜想与探究：
    如图③，在Rt△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，M、N是AB边上的点，∠MCN=45°，作DA⊥AB于点A，截取DA=NB，并连接DC、DM．
    我们来证明线段CD与线段CN相等．
    ∵∠CAB=∠CBA=45°，又DA⊥AB于点A，
    ∴∠DAC=45°，∴∠DAC=∠CBA，
    又∵DA=NB，BC=AC，
    ∴△CAD≌△CBN．
    ∴CD=CN．

    请你继续解答：
    ①线段MD与线段MN相等吗？为什么？
    ②线段AM、MN、NB有怎样的数量关系，为什么？
    （3）拓广与运用：
    如图④，已知线段AB上任意一点M（AM＜MB），是否总能在线段MB上找到一点N，使得分别以AM与BN为边长的正方形的面积的和等于以MN为边长的正方形的面积？若能，请在图④中画出点N的位置，并简要说明作法；若不能，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源：2011年河北省石家庄市裕华区中考数学二模试卷（解析版） 题型：解答题

    如图①，将两个等腰直角三角形叠放在一起，使上面三角板的一个锐角顶点与下面三角板的直角顶点重合，并将上面的三角板绕着这个顶点逆时针旋转，在旋转过程中，当下面三角板的斜边被分成三条线段时，我们来研究这三条线段之间的关系．
    （1）实验与操作：
    如图②，如果上面三角板的一条直角边旋转到CM的位置时，它的斜边恰好旋转到CN的位置，请在网格中分别画出以AM、MN和NB为边长的正方形，观察这三个正方形的面积之间的关系；
    （2）猜想与探究：
    如图③，在Rt△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，M、N是AB边上的点，∠MCN=45°，作DA⊥AB于点A，截取DA=NB，并连接DC、DM．
    我们来证明线段CD与线段CN相等．
    ∵∠CAB=∠CBA=45°，又DA⊥AB于点A，
    ∴∠DAC=45°，∴∠DAC=∠CBA，
    又∵DA=NB，BC=AC，
    ∴△CAD≌△CBN．
    ∴CD=CN．

    请你继续解答：
    ①线段MD与线段MN相等吗？为什么？
    ②线段AM、MN、NB有怎样的数量关系，为什么？
    （3）拓广与运用：
    如图④，已知线段AB上任意一点M（AM＜MB），是否总能在线段MB上找到一点N，使得分别以AM与BN为边长的正方形的面积的和等于以MN为边长的正方形的面积？若能，请在图④中画出点N的位置，并简要说明作法；若不能，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案