Question

【题目】如图，二次函数y=―ax2+2ax+c(a＞0)的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，过A的直线y=kx+2k(k≠0)与这个二次函数图象交于另一点F，与其对称轴交于点E，与y轴交于点D，且DE=EF．

（1）求A点坐标；

（2）若△BDF的面积为12，求此二次函数的表达式；

（3）设二次函数图象顶点为P，连接PF，PC，若∠CPF=2∠DAB，求此二次函数的表达式．

Answer 1

【答案】(1) A(2,0)；(2) y=x+2x+8；(3) y=x+x+4.

【解析】分析：（1）求出一次函数值为0时对应的自变量的值可得到A点坐标；

（2）利用二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x=1，则利用对称性得到B点坐标为（4，0），把A点坐标代入得c=8a，则抛物线解析式为y=﹣ax2+2ax+8a，再根据DE=EF可确定F（2，8a），接着把F（2，8a）代入一次函数得到y=kx+2k得k=2a，所以D（0，4a），然后利用三角形面积公式得到（4+2）8a﹣（4+2）4a=12，于是解方程求出a，从而得到抛物线解析式；

（3）利用抛物线的解析式为y=﹣ax2+2ax+8a得到C（0，8a），P（1，9a），则可判断CF∥x轴，所以E（1，8a），根据二次函数的对称性判断△PCF为等腰三角形，则∠CPF=2∠CPE，于是可证明∠DAB=∠CPE，然后根据相似三角形的判定方法可得到Rt△ADO∽Rt△PCE，再利用相似比可其求出a的值，从而得到抛物线解析式．

详解：（1）当y=0时，kx+2k=0，解得：x=﹣2，则A（﹣2，0）；

（2）∵二次函数y=﹣ax2+2ax+c（a＞0）的图象的对称轴为直线x=﹣=1，∴B点坐标为（4，0），把A（﹣2，0）代入y=﹣ax2+2ax+c得：﹣4a﹣4a+c=0，∴c=8a，∴抛物线解析式为y=﹣ax2+2ax+8a．∵DE=EF，∴F点的横坐标为2，∴F（2，8a），把F（2，8a）代入y=kx+2k得8a=2k+2k，解得：k=2a，∴y=2ax+4a，当x=0时，y=4a，则D（0，4a）．∵S△BDF=S△FAB﹣S△DAB，∴（4+2）8a﹣（4+2）4a=12，解得：a=1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+8；

（3）抛物线的解析式表示为y=﹣ax2+2ax+8a，D（0，4a），F（2，8a），当x=0时，y=﹣ax2+2ax+8a=8a，则C（0，8a），当x=1时，y=﹣ax2+2ax+8a=9a，则P（1，9a）．∵F（2，8a），C（0，8a），∴CF∥x轴，E（1，8a），∴△PCF为等腰三角形，∴PE平分∠CPF，即∠CPF=2∠CPE．∵∠CPF=2∠DAB，∴∠DAB=∠CPE，∴Rt△ADO∽Rt△PCE，∴=，即=，解得：a=或a=﹣（舍去），∴抛物线的解析式表示为y=﹣x2+x+4．