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    勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成（图1：△ABC中，∠BAC=90°）．
    请解答：
    （1）如图2，若以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，则它们的面积S1、S2、S3之间的数量关系是
     
    ．
    （2）如图3，若以直角三角形的三边为直径向外作半圆，则它们的面积S1、S2、S3之间的数量关系是
     
    ，请说明理由．
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    （3）如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠BCD=90°，BC=2AD，分别以AB、CD、AD为边向精英家教网梯形外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的数量关系式为
     
    ，请说明理由．
    分析：（1）利用直角△ABC的边长就可以表示出等边三角形S1、S2、S3的大小，满足勾股定理．
    （2）利用直角△ABC的边长就可以表示出半圆S1、S2、S3的大小，满足勾股定理．
    解答：解：设直角三角形ABC的三边AB、CA、BC的长分别为a、b、c，则c2=a2+b2
    （1）S1+S2=S3，证明如下：
    ∵S3=
    		3
    4
    c2    ，S1=
    		3
    4
    a2    ，S2=
    		3
    4
    b2
    ∴S1+S2=
    		3
    4
    (a2+b2)=
    		3
    4
    c2    =S3；

    （2）S1+S2=S3．证明如下：
    ∵S3=
    1
    8
    πc2    ，S1=
    1
    8
    πa2    ，S2=
    1
    8
    πb2
    ∴S1+S2=
    1
    8
    πa2    +
    1
    8
    πb2    =
    1
    8
    πc2    =S3；精英家教网

    （3）过D点作DE∥AB，交BC于E，设梯形的边AB、DC、AD的长
    分别为a、b、c，可证EC=AD=c，DE=AB=a，
    ∠EDC=180°-（∠DEC+∠BCD）=180°-（∠ABC+∠BCD）=90°，
    则c2=a2+b2
    ∵S1=a2、S2=b2、S3=c2，表示，则S1+S2=S3．
    故答案为：S1+S2=S3；S1+S2=S3；S1+S2=S3．
    点评：考查了三角形、正方形、圆的面积的计算以及勾股定理的应用．
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    ．
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    54+26
    		3
    54+26
    		3
    ．

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    60
    60
    ．

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