Question

【题目】如图，矩形的对角线，相交于点，将沿所在直线折叠，得到．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若，当四边形是正方形时，等于多少？

（3）若，，是边上的动点，是边上的动点，那么的最小值是多少？

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）的最小值为．

【解析】

（1）根据矩形的性质可得OD=OC，再根据对折的特点，得出四边形ODEC四条边相等，从而证菱形；

（2）根据正方形的特点，在Rt△ODC中，利用勾股定理可求得OC的长；

（3）点E关于DC的对称点为点O，则PE+PQ=PO+PQ，故当PQ⊥CE时，为最小值．

（1）证明：∵四边形是矩形，

∴与相等且互相平分，

∴，

∵关于的对称图形为，

∴，，

∴，

∴四边形是菱形．

（2）∵四边形是矩形，，

∴

∵四边形是正方形

∴

在中，由勾股定理得：

∵

∴．

（3）解：作于，交于，如图所示：

此时的值最小为；理由如下

∵沿所在直线折叠，得到，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

在中

，

即的最小值为．