Question

【题目】如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG.

(1)求证：四边形EFDG是菱形；

(2)求证：EG2=GFAF；

(3)若AB=4，BC=5，求GF的长.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）.

【解析】

（1）由翻折的性质可知：GD＝GE，DF＝EF，∠DGF＝∠EGF，得出∠DGF＝∠DFG．证出GD＝DF．因此DG＝GE＝DF＝EF，即可得出结论；

（2）连接DE，交AF于点O．由菱形的性质得出GF⊥DE，OG＝OF＝GF．证明△DOF∽△ADF，得出，即DF2＝FOAF，即可得出结论；

（3）作GH⊥CD于H，则CH＝EG，由（1）得：AE＝AD，在Rt△ABE中，由勾股定理得出BE＝＝3，得出EC＝2．设GF＝x，菱形边长为y，则由（2）得：y2＝x×AF①，在Rt△ADF中，AF2 ＝25＋y2②，在Rt△ECF中，y2＝4＋（4y）2③，解得：y＝，代入②得：AF＝，再代入①得：x＝即可．

解：（1）∵GE∥DF，

∴∠EGF＝∠DFG．

∵由翻折的性质可知：GD＝GE，DF＝EF，∠DGF＝∠EGF，

∴∠DGF＝∠DFG．

∴GD＝DF．

∴DG＝GE＝DF＝EF，

∴四边形EFDG为菱形．

（2）如图1所示：连接DE，交AF于点O．

∵由（1）四边形EFDG为菱形．

∴GF⊥DE，OG＝OF＝GF．

∵∠DOF＝∠ADF＝90°，∠OFD＝∠DFA，

∴△DOF∽△ADF．

∴，即DF2＝FOAF．

∵FO＝GF，DF＝EG，

∴EG2＝GFAF．

（3）作GH⊥CD于H，如图2所示：

则CH＝EG，由（1）得：AE＝AD，

在Rt△ABE中，AB＝4，AE＝AD＝5，

∴BE＝＝3，

∴EC＝2．

设GF＝x，菱形边长为y，则

由（2）得：y2＝x×AF①，

在Rt△ADF中，AF2 ＝25+y2 ②

在Rt△ECF中，y2 ＝4+（4﹣y）2③

解得：y＝，

代入②得：AF＝，再代入①得：．

即GF＝．