Question

已知关于x的一元二次方程2x²+（a+4）x+a=0．
（1）求证：无论a为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）抛物线与x轴的一个交点的横坐标为，其中a≠0，将抛物线C₁向右平移个单位，再向上平移个单位，得到抛物线C₂．求抛物线C₂的解析式；
（3）点A（m，n）和B（n，m）都在（2）中抛物线C₂上，且A、B两点不重合，求代数式2m³-2mn+2n³的值．

Answer 1

（1）证明：∵△=（a+4）²-4×2a=a²+16，
而a²≥0，
∴a²+16＞0，即△＞0．
∴无论a为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根．

（2）∵当时，y=0，
∴2×（）²+（a+4）×+a=0，
∴a²+3a=0，即a（a+3）=0，
∵a≠0，
∴a=-3．
∴抛物线C₁的解析式为y=2x²+x-3=2（x+）²-，
∴抛物线C₁的顶点为（-，-），
∴抛物线C₂的顶点为（0，-3）．
∴抛物线C₂的解析式为y=2x²-3．

（3）∵点A（m，n）和B（n，m）都在抛物线C₂上，
∴n=2m²-3，m=2n²-3，
∴n-m=2（m²-n²），
∴n-m=2（m-n）（m+n），
∴（m-n）[2（m+n）+1]=0，
∵A、B两点不重合，即m≠n，
∴2（m+n）+1=0，
∴m+n=-，
∵2m²=n+3，2n²=m+3，
∴2m³-2mn+2n³=2m²•m-2mn+2n²•n=（n+3）•m-2mn+（m+3）•n=3（m+n）=．
分析：（1）先求出判别式的值，根据△＞0时，方程有两个不相等的实数根，即可得出结论；
（2）将点（，0）代入抛物线C₁解析式，得出a的值，从而确定C₁解析式，根据平移的规律可得出抛物线C₂的解析式；
（3）将点A（m，n）和B（n，m）代入抛物线C₂的解析式，通过整理、化简可得出代数式2m³-2mn+2n³的值．
点评：本题考查了二次函数的综合题，涉及了根的判别式、二次函数的几何变换及代数式求值的知识，同学们需要注意培养自己解决综合题的能力，第三问需要我们灵活变换才能得出答案．