【题目】如图，在△ABC中，已知∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：
①四边形CEDF有可能成为正方形；
②△DFE是等腰直角三角形；
③四边形CEDF的面积是定值；
④点C到线段EF的最大距离为
．
其中正确的结论是（ ）
A．①④ B．②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】D．
【解析】
试题分析：①当E、F分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形，故此选项正确；
②①连接CD；
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB；
∵在△ADE和△CDF中，
∴△ADE≌△CDF（SAS）；
∴ED=DF，∠CDF=∠EDA；
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，
∴△DFE是等腰直角三角形．故此选项正确；
③∵△ADE≌△CDF，
∴S△ADE=S△CDF．
∵S四边形CEDF=S△CED+S△CFD，
∴S四边形CEDF=S△CED+S△AED，
∴S四边形CEDF=S△ADC．
∵S△ADC=
S△ABC=4．
∴四边形CEDF的面积是定值4，故本选项正确；
④④△DEF是等腰直角三角形，
DE=EF，
当EF∥AB时，∵AE=CF，
∴E，F分别是AC，BC的中点，故EF是△ABC的中位线，
∴EF取最小值=
=2，
∵CE=CF=2，
∴此时点C到线段EF的最大距离为EF=．故此选项正确．
故选D．
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【题目】已知抛物线L;y=ax2+bx+c(其中a、b、c都不等于0), 它的顶点P的坐标是
,与y轴的交点是M(0,c)我们称以M为顶点,对称轴是y轴且过点P的抛物线为抛物线L的伴随抛物线,直线PM为L的伴随直线.
(1)请直接写出抛物线y=2x2-4x+1的伴随抛物线和伴随直线的关系式:
伴随抛物线的关系式_________________
伴随直线的关系式___________________
(2)若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y=-x2-3和y=-x-3, 则这条抛物线的关系是___________:
(3)求抛物线L:y=ax2+bx+c(其中a、b、c都不等于0) 的伴随抛物线和伴随直线的关系式;
(4)若抛物线L与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点x2>x1>0,它的伴随抛物线与x 轴交于C,D两点,且AB=CD,请求出a、b、c应满足的条件.
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【题目】如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=120°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周．在旋转的过程中，假如第t秒时，OA、OC、ON三条射线构成相等的角，求此时t的值为多少？
（2）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转图2，使ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．
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【题目】如图：已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，，垂足分别为E，F.
(1)求证：△BED≌△CFD；
(2)若∠A=90°，求证：四边形DFAE是正方形.
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【题目】如图，P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E、F分别为垂足．
（1）求证：△APD≌△CPD；
（2）若CF=3，CE=4，求AP的长．
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【题目】如图，已知∠3=∠4，要说明△ABC≌△DCB，
（1）若以“SAS”为依据，则需添加一个条件是________
（2）若以“AAS”为依据，则需添加一个条件是________
（3）若以“ASA”为依据，则需添加一个条件是________
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【题目】如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．
（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．
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【题目】如图，已知一条直线过点(0，4)，且与抛物线y＝
x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是－2.
(1)求这条直线的解析式及点B的坐标；
(2)在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N(0，1)，当点M的横坐标为何值时，MN＋3MP的长度最大？最大值是多少？
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