Question

【题目】在平面直角坐标系中，我们定义直线y＝ax﹣a为抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线y＝﹣x2﹣x+2与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．

（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为　 　，点A的坐标为　 　，点B的坐标为　 　；

（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；

（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（﹣2，）；（1，0）；（2）N点坐标为（0，﹣3）或（，）；（3）存在；E（﹣1，﹣）、F（0，）或E（﹣1，﹣）、F（﹣4，）．

【解析】

（1）由梦想直线的定义可求得其解析式，联立梦想直线与抛物线解析式可求得A、B的坐标；

（2）当N点在y轴上时，过A作AD⊥y轴于点D，则可知AN＝AC，结合A点坐标，则可求得ON的长，可求得N点坐标；当M点在y轴上即，M点在原点时，过N作NP⊥x轴于点P，由条件可求得∠NMP＝60°，在Rt△NMP中，可求得MP和NP的长，则可求得N点坐标；

（3）当AC为平行四边形的一边时，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，可证△EFH≌△ACK，可求得DF的长，则可求得F点的横坐标，从而可求得F点坐标，由HE的长可求得E点坐标；当AC为平行四边形的对角线时，设E（﹣1，t），由A、C的坐标可表示出AC中点，从而可表示出F点的坐标，代入直线AB的解析式可求得t的值，可求得E、F的坐标．

解：（1）∵抛物线，

∴其梦想直线的解析式为，

联立梦想直线与抛物线解析式可得：，

解得：或，

∴A（﹣2，），B（1，0），

故答案为：；（﹣2，）；（1，0）；

（2）当点N在y轴上时，△AMN为梦想三角形，

如图1，过A作AD⊥y轴于点D，则AD=2，

在中，

令y=0可求得x=﹣3或x=1，

∴C（﹣3，0），且A（﹣2，），

∴AC= =，

由翻折的性质可知AN=AC=，

在Rt△AND中，由勾股定理可得DN= = =3，

∵OD=，

∴ON=﹣3或ON=+3，

当ON=+3时，则MN＞OD＞CM，与MN=CM矛盾，不合题意，

∴N点坐标为（0，﹣3）；

当M点在y轴上时，则M与O重合，过N作NP⊥x轴于点P，如图2，

在Rt△AMD中，AD=2，OD=

∴∠DAM=60°，

∵AD∥x轴，

∴∠AMC=∠DAO=60°，

又由折叠可知∠NMA=∠AMC=60°，

∴∠NMP=60°，且MN=CM=3，

∴MP=MN=，NP=MN=，

∴此时N点坐标为（，）；

综上可知N点坐标为（0，﹣3）或（，）；

（3）①当AC为平行四边形的边时，如图3，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，

则有AC∥EF且AC=EF，

∴∠ACK=∠EFH，

在△ACK和△EFH中，

∵∠ACK=∠EFH，∠AKC=∠EHF，AC=EF，

∴△ACK≌△EFH（AAS），

∴FH=CK=1，HE=AK=，

∵抛物线对称轴为x=﹣1，

∴F点的横坐标为0或﹣2，

∵点F在直线AB上，

∴当F点横坐标为0时，则F（0，），此时点E在直线AB下方，

∴E到y轴的距离为EH﹣OF=﹣=，

即E点纵坐标为﹣，

∴E（﹣1，﹣）；

当F点的横坐标为﹣2时，则F与A重合，不合题意，舍去；

②当AC为平行四边形的对角线时，

∵C（﹣3，0），且A（﹣2，），

∴线段AC的中点坐标为（﹣2.5，），

设E（﹣1，t），F（x，y），

则x﹣1=2×（﹣2.5），y+t=，

∴x=﹣4，y=﹣t，

代入直线AB解析式可得﹣t=﹣×（﹣4）+，

解得t=﹣，

∴E（﹣1，﹣），F（﹣4，）；

综上可知存在满足条件的点F，此时E（﹣1，﹣）、F（0，）或E（﹣1，﹣）、F（﹣4，）．