Question

如图，扇形OAB的圆心角为90°，以OB为直径的半圆O₁与半圆O₂外切，且⊙O₁与⊙O₂都与扇形弧相内切．
（1）求半圆O₁与半圆O₂的半径比；
（2）若OB=12，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析：（1）根据两圆外切两圆连心线必过圆心，进而利用勾股定理得出两圆半径的关系；
（2）利用（1）中所求，进而得出两圆的半径，再利用扇形面积求出即可．

解答：解：（1）连接O₁O₂，设半圆O₁与半圆O₂的半径分别为：x，y，
∵扇形OAB的圆心角为90°，以OB为直径的半圆O₁与半圆O₂外切，且⊙O₁与⊙O₂都与扇形弧相内切，
∴OO₁=x，OO₂=2x-y，O₁O₂=x+y，
∴x²+（2x-y）²=（x+y）²，
整理得出：4x=6y，
∴

x

y

=

6

4

=

3

2

；

（2）∵OB=12，
∴O₁B=6，AO₂=4，
∴图中阴影部分的面积为：S_扇形AOB-S_半圆O2-S_半圆O1=

90π×122

360

-

π×42

2

-

π×62

2

=10π．

点评：此题主要考查了相切两圆的性质和扇形面积公式应用，得出两圆的半径是解题关键．