Question

如图，正方形ABCD中，AB=1，点P是射线DA上的一动点，DE⊥CP，垂足为E，EF⊥BE与射线DC交于点F，
（1）若点P在边DA上（与点D、点A不重合）．
①求证：△DEF∽△CEB，
②设AP=x，DF=y，求y与x的函数关系式，并写出函数定义域；
（2）当S_△BEC=4S_△EFC时，求AP的长．

Answer 1

分析：（1）①由于∠DEC、∠FEB都是直角，那么∠DEF、∠CEB为同角的余角，由此可得∠DEF=∠CEB，同理可证得∠EDF=∠BCE，由此得证．
②此题可通过两步相似，即△DEC∽△PDC和△DEF∽△CEB，来证得PD=DF，从而求得y、x的函数关系式．
（2）由于△DEF、CEF同高，那么它们的面积比等于相似比，即DF：CF；而△DEF与△BEC相似，它们的面积比为：DF2：BC2，联立两式即可求得S_△BEC与S_△EFC的面积比的表达式，已知了两者的比例关系，联立（1）②的函数解析式即可求得x的值，即AP的长．（要注意的是，在表示DF长时，要分PD在线段DA上和DA延长线上两种情况）

解答：解：（1）①∵∠DEC=∠FEB=90°，∴∠DEF=∠BEC；（1分）
∵∠EDF+∠DCP=∠BCE+∠DCP=90°，（1分）
∴∠EDF=∠BCE，∴△DEF∽△CEB．（1分）

②∵Rt△PDC中，DE⊥CP，∴∠CDP=∠CED=90°，
∴△DEC∽△PDC，∴

DE

EC

=

PD

DC

；（1分）
∵△DEF∽△CEB，（1分）
∴

DE

EC

=

DF

BC

，且BC=DC，
∴

PD

DC

=

DF

DC

，∴PD=DF；（1分）
∵AP=x，DF=y，∴PD=1-x，∴y=1-x（1分）（0＜x＜1）．（1分）

（2）∵△DEF∽△CEB，∴

S△DEF

S△CEB

=

DF2

CB2

（1），（1分）
∵

S△DEF

S△CEF

=

DF

CF

（2），∴（1）÷（2）得

S△cEF

S△CEB

=

DF•CF

CB2

；（1分）
又∵S_△BEC=4S_△EFC，∴

S△cEF

S△CEB

=

DF•CF

CB2

=

1

4

；（1分）
当P点在边DA上时，
有

(1-x)•x

1

=

1

4

，解得x=

1

2

，（2分）
当P点在边DA的延长线上时，

(1+x)•x

1

=

1

4

，解得x=

2 -1

2

．（1分）
∴AP=

2 -1

2

．

点评：此题主要考查了正方形的性质以及相似三角形的判定和性质，难度较大，注意（2）题中分类讨论思想的运用．