Question

【题目】如图，是将抛物线 平移后得到的抛物线，其对称轴为 ，与x轴的一个交点为A ，另一交点为B，与y轴交点为C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点 为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标；
（3）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数 的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P、Q的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：设抛物线的解析式是 ．

把 代入得 ，解得，

则抛物线的解析式是 ，即 ；

（2）解：

方法一：设直线BC的解析式为 ，

∴直线BC的解析式为 ，

由BC⊥NC，则设直线CN的解析式为

，即直线CN的解析式为

∵N为直线BC与CN的交点，

∴联立方程得： ，即 ，

∴ ，则N的坐标是

方法二：在 中令 ，则 ，

即C的坐标是 ，OC=3．

∵B的坐标是 ，

∴OB=3，

∴OC=OB，则△OBC是等腰直角三角形．

∴∠OCB=45°，

过点N作NH⊥y轴，垂足是H．

∵∠NCB=90°，∴∠NCH=45°，

∴NH=CH，∴HO=OC+CH=3+CH=3+NH，

设点N纵坐标是 ．

∴ ，

解得 （舍去）或 ，

∴N的坐标 ；

（3）解：∵四边形OAPQ是平行四边形，

则PQ=OA=1，且PQ∥OA，

设 ，则 代入 ，

得 ，

整理，得 ，

解得 或 ．

∴ 的值为3或 ．

∴P、Q的坐标是 或 ．

【解析】（1）由其对称轴为 x = 1 ，可得顶点横坐标为1，再由与x轴的一个交点为A ( 1 , 0 )，且由平移可得a=-1，所以易由顶点式求得解析式为y = x 2 + 2 x + 3
（2）由B(3，0)C(0,3)易得直线BC为y = x + 3 ，由于BC⊥NC，可得直线NC的斜率k=1,结合点C(0,3)，可得到直线NC为y = x + 3；所求点N为二次函数与直线NC的交点，连列方程组可得N的坐标是 ( 1 ， 4 )。
（3）由四边形OAPQ是平行四边形易得PQ=OA=1，且PQ∥OA，所以若设 P ( t , t 2 + 2 t + 3 )，则可得 Q ( t + 1 , t 2 + 2 t + 3 )由于Q为直线y = x + 的点，代入可计算出t= 0 或 t = ，代入所设 P ( t , t 2 + 2 t + 3 )， Q ( t + 1 , t 2 + 2 t + 3 ) 即可得两点坐标。
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的图象的相关知识，掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点，以及对二次函数的性质的理解，了解增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．