Question

如图，P（m，n）是反比例函数上的一动点，过点P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M、N．
（1）当点P在曲线上运动时，四边形PMON的面积是否变化？若不变，请求出它的面积，并写出简要过程；若改变，请说明理由；
（2）若点P的坐标是（-4，2），试求四边形PMON对角线的交点P₁的坐标；
（3）随着点P在曲线上运动，点P₁（m₁，n₁）也跟着运动，试写出n₁与m₁之间函数的关系式，并说出它的图象的形状．

Answer 1

解：（1）四边形PMON的面积不变…（1分）
由P（m，n）是反比例函数上 得mn=-8，PM=n，PN=-m
∵PM⊥x轴，PN⊥y轴∴四边形PMON是矩形
∴四边形PMON的面积=PM•PN=-mn=8∴四边形PMON的面积不变…（2分）

（2）由于矩形PMON的对角线互相平分，
又∵P（-4，2），
∴P₁的坐标是（-2，1）…（2分）

（3）（写出关系式即可）…（2分）
该函数的图象是位于第二象限的双曲线的一支．…（1分）
分析：（1）根据题意推知四边形PMON是矩形，然后根据矩形的面积公式求得四边形PMON的面积=PM•PN=-mn=8，即四边形PMON的面积不变；
（2）根据矩形的性质（对角线互相平分）和点P的坐标来求，P₁的坐标；
（3）由于点P在曲线上运动，所以点P₁的运动轨迹也是曲线；根据点P₁的坐标，利用待定系数法求得反比例函数的解析式，即n₁与m₁之间函数的关系式即可．
点评：此题主要考查反比例函数的性质，注意通过矩形的性质求得其面积、对角线的交点坐标．同时要注意运用数形结合的思想．