Question

26、如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）求证：EO=FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？为什么？
（3）△ABC进行怎样的变化才能使AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形？为什么？

Answer 1

分析：（1）由已知MN∥BC得到两对内错角相等，再由CE、CF分别平分∠BCO和∠GCO，根据等量代换可推出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，分别根据“等角对等边”得证；
（2）由（1）得出的EO=CO=FO，点O运动到AC的中点时，则由EO=CO=FO=AO，根据对角线互相平分且相等的四边形为矩形得证；
（3）由已知和（2）得到的结论，点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，则推出四边形AECF是矩形且对角线垂直，所以四边形AECF是正方形．

解答：解（1）∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠GCF，
又已知CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，
∴∠OCE=∠BCE，∠OCF═∠GCF，
∴∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，
∴EO=CO，FO=CO，
∴EO=FO；
（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．
∵当点O运动到AC的中点时，AO=CO，
又EO=CO，FO=CO，
∴AO=BO=CO=DO，
∴AO+OC=EO+OF，即AC=EF，
∴四边形AECF是矩形；
（3）当点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形．
∵由（2）知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，
已知MN∥BC，当∠ACB=90°，则
∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°，
∴AC⊥EF，
∴四边形AECF是正方形．

点评：此题考查的知识点是正方形和矩形的判定及角平分线的定义，属于探究条件型题，即在条件不充分的情况下，探究所缺少的条件，解答这类试题可采用“逆向思维”，视结论为题设，寻找必要条件，往往缺少的就是那个条件，同时注意三问之间的内在联系，注意运用已经推出的结论解决问题．