Question

已知点A和点B的坐标分别是（3，0）和（0，4），点C的坐标为（-2，0），点P是直线AB上一动点，直线CP与y轴交于点D．
（1）当CP⊥AB时，求CD的长；
（2）当点P沿直线AB移动时，以点P为圆心，以的长为半径作⊙P，过点C作⊙P的两条切线，切点分别是E和F．
①若⊙P与x轴相切时，求CE的长；
②当点P在直线AB上运动时，求四边形CEPF的面积的最小值．

Answer 1

解：（1）∵A（3，0），B（0，4），C（-2，0），
∴OA=3，OB=4，OC=2，
根据勾股定理，AB===5，
∵CP⊥AB，
∴∠DCO+∠BAO=90°，
又∵∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠DCO=∠ABO，
又∠COD=∠AOB=90°，
∴△COD∽△BOA，
∴=，
即=，
解得CD=；

（2）①由A（3，0），B（0，4）可求直线AB的解析式为y=-x+4，
设点P的坐标为（x，-x+4），
∵⊙P与x轴相切，
∴|-x+4|==，
即-x+4=或-x+4=-，
解得x=或x=，
所以，CE=-（-2）=+2=，
或CE=-（-2）=+2=；

②∵点P（x，-x+4），C（-2，0），
∴PC=，
∵⊙P的半径为=，
∴根据勾股定理得，CE===，
根据切线长定理，△PCE与△PCF关于直线PC成轴对称，
∴四边形CEPF的面积=2S_△PCE=2ו×=，
当x-2=0，即x=时，四边形CEPF的面积有最小值，最小值为×=．
分析：（1）根据点A、B、C的坐标求出OA、OB、OC的长度，再根据勾股定理求出AB的长度，然后求出△COD和△BOA相似，根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解；
（2）①先求出直线AB的解析式，然后设出点P的坐标，根据切线的定义可得点P的纵坐标的长度等于⊙P的半径，然后求解得到x的值，即可得解；
②根据点P的坐标，利用两点间的距离公式求出PC的长度，再利用勾股定理表示出CE，然后根据切线长定理可得四边形CEPF的面积等于△PCE的面积的2倍，然后根据三角形的面积公式列式并整理，再根据二次函数的最值问题解答．
点评：本题综合考查了一次函数的问题，主要涉及相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，切线长定理，以及两点间的距离公式，二次函数的最值问题，利用直线解析式设出点P的坐标是解题的关键，本题运算量较大，比较复杂，计算时要仔细认真．