如图.在平面直角坐标系中.抛物线y1=x2-1与x轴交于点A和点B.抛物线y2的解析式为y2=$\frac{1}{1-n}$(x-n)2+n-1(n≠1.直线y3的解析式为y3=x-2．(1)试通过计算说明抛物线y2与直线y3均过点A,(2)若抛物线y2与x轴的另一交点为C.且有BC=2AB.请求出此时y2的解析式,(3)当n≤0时.已知对于x的任意同一个值.所对应三个函数� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

3．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y₁=x²-1与x轴交于点A和点B（点A在点B的右侧），抛物线y₂的解析式为y₂=$\frac{1}{1-n}$（x-n）²+n-1（n≠1，直线y₃的解析式为y₃=x-2．
（1）试通过计算说明抛物线y₂与直线y₃均过点A；
（2）若抛物线y₂与x轴的另一交点为C，且有BC=2AB，请求出此时y₂的解析式；
（3）当n≤0时，已知对于x的任意同一个值，所对应三个函数的函数值为y₁，y₂，y₃，请画出它们的大致图象后猜想y₁，y₂，y₃的大小关系并给出证明．

分析（1）根据自变量与函数值的关系，可得A点坐标，根据自变量的值，可得y₂，y₃的值；
（2）根据相同的函数值对应的自变量关于对称轴对称，可得C点坐标根据BC的距离，可得n的值，根据n的值，可得y₂的函数解析式；
（3）根据作差法比较，可得对于任意x，当n≤0时，y₁与y₂与y₃的大小关系．

解答解：（1）在y₁=x-1中，当y₁=0时，x²-1=0，
解得x₁=1，x₂=-1，
∵点在B点的右侧，
∴A点坐标为（1，0），
把x=1代入y₂=$\frac{1}{1-n}$（x-n）+n-1与₃=2x-2中，
得y₂=0，y₃=0，
∴抛物线y₂与y₃均过A点；
（2）在y₂=$\frac{1}{1-n}$（x-n）²+n-1中，
其对称轴为直线x=n，
由（1）知抛物线y₂=$\frac{1}{1-n}$（x-n）²+n-1过点A（1，0），
∴点C为（2n-1，0），
BC=2AB，AB=2，
∴|2n-1-（-1）|=4，
解得 n=2或n=-2，
此时y₂的解析式为y₂=-（x-2）²+1或y₂=$\frac{1}{3}$（x+2）²-3；
（3）如图：
，
对于任意x，当n≤0时，猜想y₁≥y₂≥₃，
理由：y₁-y₂=x²-1-$\frac{1}{1-n}$（x-n）²-n+1=$\frac{n（x-1）2}{n-1}$，
又∵≤0，
∴y₁-y₂≥0，
∴y₁≥y₂；
同理y₂-y₃=$\frac{1}{1-n}$（x-n）²+n-1-2x+2=$\frac{（x-1）^{2}}{1-n}$，
又∵≤0，
∴y₂-y₃≥0，
∴y₂≥≥y₃；
对于任意x，当n≤0时，均有y₁≥y₂≥₃．

点评本题考查了二次函数综合题，利用了自变量于函数值的对应关系，相同的函数值的点关于对称轴对称，两点间的距离公式得出n的值，利用作差法比较函数值的大小关系．

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