Question

在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，∠A=60°，AB=2CD，E、F分别为AB、AD的中点，连接EF、EC、BF、CF．
（1）判断四边形AECD的形状（不证明）；
（2）在不添加其它条件下，写出图中一对全等的三角形，用符号“≌”表示，并证明；
（3）若CD=2，求四边形BCFE的面积．

Answer 1

解：（1）平行四边形；

（2）△BEF≌△CDF或（△AFB≌△EBC≌△EFC）
证明：连接DE，
∵AB=2CD，E为AB中点，
∴DC=EB，
又∵DC∥EB，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∵AB⊥BC，
∴四边形BCDE为矩形，
∴∠AED=90°，∠CDE=∠BED=90°，BE=CD，
在Rt△AED中，∠A=60°，F为AD的中点，
∴AF=AD=EF，
∴△AEF为等边三角形，
∴∠DFE=180°-60°=120°，
∵EF=DF，
∴∠FDE=∠FED=30°．
∴∠CDF=∠BEF=120°，
在△BEF和△FDC中，
，
∴△BEF≌△CDF（SAS）．（其他情况证明略）

（3）若CD=2，则AD=4，
∵∠A=60°，
∴sin60°==，
∴DE=AD•=2
∴DE=BC=2，
∵四边形AECD为平行四边形，
∴S_△ECF与S_{四边形AECD}等底同高，
∴S_△ECF=S_{四边形AECD}=CD•DE=×2×2=2，
S_△CBE=BE•BC=×2×2=2，
∴S_{四边形BCFE}=S_△ECF+S_△EBC=2+2=4．
分析：（1）根据题意可知AE∥CD且AE=CD，所以四边形AECD是平行四边形．
（2）连接DE，证出四边形DEBC是矩形，再加上F是AD的中点，∠A=60°，可得出△AFE是等边三角形，那么就可证出△BEF≌△FDC．
（3）因为F是AD的中点，所以能得出△EFC的面积是平行四边AECD的面积的一半，再加上∠A=60°，可求出DE（BC=DE）的长，再利用三角形的面积公式计算就可以了．
点评：本题主要运用了平行四边形的判定和性质，以及矩形的判定和性质，还有全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式等内容．