Question

【题目】如图1，抛物线交x轴于点，，交y轴于点C．

求抛物线的解析式；

如图2，D点坐标为，连结若点H是线段DC上的一个动点，求的最小值．

如图3，连结AC，过点B作x轴的垂线l，在第三象限中的抛物线上取点P，过点P作直线AC的垂线交直线l于点E，过点E作x轴的平行线交AC于点F，已知．

求点P的坐标；

在抛物线上是否存在一点Q，使得成立？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+x﹣6；（2）OH+HC的最小值为3；（3）①点P坐标为（﹣2，﹣4）；②点Q的坐标为（﹣1，﹣6）．

【解析】

（1）把交点坐标代入抛物线交点式表达式，即可求解；

（2）作点O关于直线BC的对称点O′，过点O′作O′G⊥y轴交DC与点H、交y轴与点G，在图示的位置时，OH+ HC为最小值，即可求解；

（3）①PE＝CF，则PEcosβ＝SFcosβ，即：PE＝FS，即可求解；②求出HP所在的直线表达式与二次函数联立，求得交点即可．

解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝（x+3）（x﹣2）＝x2+x﹣6，

抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣6…①，

（2）作点O关于直线DC的对称点O′交CD于点M，过点O′作O′G⊥y轴交DC与点H、交y轴与点G，

∵OD＝2 ，OC＝6，则∠OCD＝30°，∴GH＝ HC，

在图示的位置时，OH+ HC＝GH+OH，此时为最小值，长度为GO′，

∵O′O⊥DC，∴∠OO′H＝∠OCD＝30°，

∴OM＝ OC＝3＝ OO′，

在Rt△OO′G中，GO′＝OO′cos∠OO′G＝6cos30°＝3 ，

即：OH+ HC的最小值为3 ；

（3）①设点P的坐标为（m，n），n＝m2+m﹣6，

直线AC表达式的k值为﹣2，则直线PE表达式的k值为 ，

设直线PE的表达式为：y＝x+b，

将点P坐标代入上式并解得：b＝n﹣m，

则点E的坐标为（2，1+n﹣m），点F的坐标为（m﹣n﹣，1+n﹣m），

过点P作x轴的平行线交直线l于点M，过点F作y轴平行线交过C点作x轴的平行线于点S，

∵AC⊥PE，∴∠EPM＝∠SFC＝β，

∵PE＝CF，则PEcosβ＝SFcosβ，即：PE＝FS，

∴1+n﹣ m+6＝2﹣m，即：2m2+3m﹣2＝0，

解得：m＝ 或﹣2（舍去m＝），

故点P坐标为（﹣2，﹣4），

点E坐标为（2，﹣2）；

②过点P作x轴的平行线交直线l于点M、交y轴于点R，作EN⊥PB于点N，

则：PM＝4＝BM＝4，EM＝BM＝2，

则PE＝，EN＝BEsin∠NBE＝2×sin45°＝，

设：∠QPC＝∠BPE＝α，

则sin∠BPE＝＝＝sinα，则tanα＝，

过点P作y轴的平行线交过C点与x轴的平行线于点L，延长PQ交CL于点H，过点H作HG⊥PC，

则：PL＝PR＝RC＝CL＝2，即四边形PRCL为正方形，

∴∠PCH＝45°，设：GH＝GC＝m，

PG＝ ＝3m，PC＝PG+GC＝4m＝2 ，则m＝ ，

CH＝ m＝1，即点H坐标为（﹣1，﹣6），

则HP所在的直线表达式为：y＝﹣2x﹣8…②，

①②联立并解得：x＝﹣1或﹣2（x＝﹣2和点P重合，舍去），

故点Q的坐标为（﹣1，﹣6）．

故答案为：（1）y＝x2+x﹣6；（2）OH+HC的最小值为3；（3）①点P坐标为（﹣2，﹣4）；②点Q的坐标为（﹣1，﹣6）．