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    如图：已知在中，AD平分∠BAC，为边的中点，过点作，垂足分别为。
    （1）求证：；
    （2）若，求证：四边形是正方形。

    见解析

    解析试题分析：（1）由AD平分∠BAC，，根据角平分线的性质即可得到DE=DF，再由为边的中点，即可证得结论；
    （2）由，，可得四边形是矩形，再结合DE=DF即可证得结论。
    （1）∵AD平分∠BAC，，
    ∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等），
    ∵为边的中点，
    ∴BD=CD，
    ∴；
    （2）∵，，
    ∴四边形是矩形，
    ∵DE=DF，
    ∴矩形是正方形.
    考点：本题考查的是全等三角形的判定和性质，正方形的判定
    点评：判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．

    练习册系列答案
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知△ABC中，AD平分∠BAC．
    （1）在图1中，作DE⊥AB，DF⊥AC，
    ∵AD平分∠BAC，∴
    DE
    DE
    =
    DF
    DF
    ，
    而S△ABD=
    1
    2
    AB
    AB
    ×
    DE
    DE
    ，
    S△ACD=
    1
    2
    AC
    AC
    ×
    DF
    DF

    则S△ABD：S△ACD=
    AB
    AB
    ：
    AC
    AC

    （2）在图2中，作AP⊥BC而S△ABD=
    1
    2
    BD
    BD
    ×
    AP
    AP
    ，S△ACD=
    1
    2
    CD
    CD
    ×
    AP
    AP
    ，
    则S△ABD：S△ACD=
    BD
    BD
    ：
    CD
    CD
    ；
    （3）由（1）、（2）可得“角平分线”第二性质
    AB
    AB
    ：
    AC
    AC
    =
    BD
    BD
    ：
    CD
    CD
    ．

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    科目：初中数学 来源：2013届江苏扬州江都区双沟中学九年级10月练习数学试卷（带解析） 题型：解答题

    如图：已知在中，AD平分∠BAC，为边的中点，过点作，垂足分别为。

    （1）求证：；
    （2）若，求证：四边形是正方形。

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    科目：初中数学 来源：2012-2013学年江苏省扬州市九年级第一次月考数学试卷（解析版） 题型：解答题

    如图：已知在中，AD平分∠BAC，为边的中点，过点作，垂足分别为。

    （1）求证：；

    （2）若，求证：四边形是正方形。

     

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    科目：初中数学 来源：2012-2013学年江苏扬州江都区双沟中学九年级10月练习数学试卷（解析版） 题型：解答题

    如图：已知在中，AD平分∠BAC，为边的中点，过点作，垂足分别为。

    （1）求证：；

    （2）若，求证：四边形是正方形。

     

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