Question

已知抛物线的函数解析式为，若抛物线经过点，方程的两根为，，且。
（1）求抛物线的顶点坐标.
（2）已知实数，请证明：≥,并说明为何值时才会有.
（3）若抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线，设，是上的两个不同点，且满足：，，.请你用含有的表达式表示出△的面积，并求出的最小值及取最小值时一次函数的函数解析式。
（参考公式：在平面直角坐标系中，若，，则，两点间的距离为）

Answer 1

解：（1）∵抛物线过点
∴    
∴      
又∵方程的两根为，
∴ ，
由两边平方整理得：即    
∴    
又    
∴
∴抛物线的函数解析式为
∴抛物线的顶点坐标为
（2）∵      
∴，    
而   即
∴，
当且仅当时，
（3）由题意可求抛物线的解析式为：
∴，过点、作轴的垂线，垂足分别为、，
则
由 得 即      
∴    
∴
∴
由（2）知：
∴
当且仅当，取得最小值1此时的坐标为（1，1）
∴一次函数的解析式为