Question

如图，M是正方形ABCD边AD上动点、以BM为对角线作正方形BGMN．
（1）当点M与A重合时，直接写出△BNC与△BMD之间的面积关系．
（2）当点M不与A重合时，猜想△BNC与△BMD之间的面积关系，并证明你的猜想．
（3）当点M在运动时，是否有一点使S_{正方形BGMN}=4S_△BNC成立？若成立，请求出∠ABM的大小；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据A与M重合，利用正方形的性质，对角线垂直且平分，即可得出△BNC与△BMD的大小关系；
（2）根据正方形的性质得出∠MBD=∠DBN，进而求出

BN

BM

=

2

2

，

BC

BD

=

2

2

，得出△BNC∽△BMD，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求出即可；
（3）利用当S_{正方形BGMN}=4S_△BNC，可得S_△BMN=S_△BMD，再利用△BNC∽△BMD，得出∠BCN=∠MDB=45°，进而利用两边且夹角相等得出△BNC≌△DNC，再求出∠MBD=∠BDN=∠NBD得出答案．

解答：解：（1）

S△BNC

S△BMD

=

1

2

；

（2）猜想

S△BNC

S△BMD

=

1

2

；
证明：∵BM，BD都是正方形的角平分线，
∴∠MBN=∠DBC=45°，
∴∠MBD+∠DBN=45°，∠DBN+NBC=45°，
∴∠MBD=∠DBN，
∵

BN

BM

=

2

2

，

BC

BD

=

2

2

，
∴

BN

BM

=

BC

BD

，
∴△BNC∽△BMD，
∴

S△BNC

S△BMD

=（

2

2

）²=

1

2

；

（3）连接DN，
当S_{正方形BGMN}=4S_△BNC，
∵

S△BNC

S△BMD

=

1

2

；
∴可得S_△BMN=S_△BMD，
∴BM∥DN，
∴∠MBD=∠BDN，
∵△BNC∽△BMD，
∴∠BCN=∠MDB=45°，
∵NC=NC，BC=DC，
即

NC=CN ∠BCN=∠NCD=45° BC=DC

∴△BNC≌△DNC，（SAS）
∴BN=DN，
∴∠NBD=∠BDN，
∴∠MBD=∠BDN=∠NBD=22.5°，
∠ABM=22.5°．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质和正方形的性质以及全等三角形的判定等知识，根据正方形的性质得出∠BCN=∠MDB=45°，以及得出DN∥BM是解题关键．