Question

【题目】内接于，为的中点，连接，交边于点，且.

（1）如图1，求的度数；

（2）如图2，作于点，于点，交于点，求证：；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接，若，求线段的长.

Answer 1

【答案】（1）60° （2）见解析 （3）

【解析】

（1）利用等腰三角形的性质结合圆周角定理得出答案；
（2）过做，垂足为，连接，利用AAS得出，进而得出答案；
（3）首先证明四边形是菱形，可证（SAS），则可得是等边三角形， 设，则，，， ，根据四边形内接于，则有：，可得（SAS），设，则，利用勾股定理得，，，

，，再根据，得

解得，进而得出答案．

（1）如图示，连接，

，，

，

.

（2）如图示，连接，过做，垂足为，连接，

∵，∴，

∴

∵为弧中点，，

，

，

又∵

（AAS），

∴.

∴.

（3）连接，延长至，使，连接，

由（2）可知，，，

∴四边形是菱形

∴，

∵为的中点，

∴，

又∵

（SAS），

∴

，

∴是等边三角形，

∴，

设，则，

，

∴

四边形内接于，

则有：，

∴

（SAS）.

，.

设，则，

∵，

∴，，

则，，

，

又∵是等边三角形，

∴，

则由勾股定理可求得：.

∴，

又，

∴

即

∴

解得，

．