Question

（2012•静海县二模）在平面直角坐标系中，两个全等的直角三角板OAB和DCE重叠在一起，∠AOB=60°，B（2，0）．固定△OAB不动，将△DCE进行如下操作：
（Ⅰ） 如图①，△DCE沿x轴向右平移（D点在线段AB内移动），连接AC、AD、CB，四边形ADBC的形状在不断的变化，它的面积变化吗？若不变，求出其面积；若变化，请说明理由．
（Ⅱ）如图②，当点D为OB的中点时，请你猜想四边形ADBC的形状，并说明理由．
（Ⅲ）如图③，在（Ⅱ）中，将点D固定，然后绕D点按顺时针将△DCE旋转30°，在x轴上求一点P，使|AP-CP|最大．请直接写出P点的坐标和最大值，不要求说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）过A点作AF⊥OB于F，作出梯形的高，求得高线长，根据平行的性质可以得到AC=OD，则利用梯形的面积公式即可求解；
（Ⅱ）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证得；
（Ⅲ）当P是直线AC与x轴的交点时，|AP-CP|最大．利用待定系数法求得AC的解析式，则P的坐标可以求得．

解答：解：（Ⅰ）四边形ADBC的面积不变．
在Rt△AOB中，∵∠AOB=60°，
∴∠ABO=30°．
又B（2，0），∴OB=2，
∴OA=

1

2

OB=1，
过A点作AF⊥OB于F，
在Rt△AOF中，∵sin60°=

AF

OA

，
∴AF=

3

2

，
由平移性质可知，AC∥OD，AC=OD
∴S=

1

2

(AC+DB)•AF=

1

2

(OD+DB)•AF=

1

2

×2×

3

2

=

3

2

；

（Ⅱ）菱形，
在Rt△AOB中，∵点D为斜边OB的中点，∴OD=AD=DB．
∵AC∥DB，AC=OD=DB，
∴四边形ADBC是平行四边形，
∵AD=DB，∴四边形ADBC是菱形；


（Ⅲ）作AM⊥x轴于点M，CN⊥x轴于N．
则AM=OA•sin60°=

3

2

，OM=OA•cos60°=

1

2

，则A的坐标是：（

1

2

，

3

2

），
在直角△DCN中，CN=

1

2

CD=

1

2

，DN=CD•cos60°=

3

2

，则ON=1+

3

2

=

3 +2

2

，MN=

3 +2

2

-

1

2

=

3 +1

2

．
C的坐标是：（

3 +2

2

，

1

2

），
设直线AC的解析式是y=kx+b，则

1 2 k+b= 3 2 3 +2 2 k+b= 1 2

，
解得：

k= 3 +1 1- 3 b= 3 +1

．
则直线的解析式是：y=

3 +1

1- 3

x+(

3

+1)，
令y=0，解得：x=2+

3

，
故P的坐标是（2+

3

，0）．
作CE⊥AM于点E．则EC=MN=

3 +1

2

，AE=

3

2

-

1

2

=

3 -1

2

，
在直角△ACE中，AC=

EC2+AE2

=

2

．
故|AP-CP|的最大值为

2

．

点评：本题考查了梯形的面积的计算、平行的性质以及待定系数法求函数解析式，理解P的位置是关键．