Question

【题目】如图1，中，于，且．

（1）试说明是等腰三角形；

（2）已知，如图2，动点从点出发以每秒的速度沿线段向点运动，同时动点从点出发以相同速度沿线段向点运动，设点运动的时间为（秒）．

①若的边于平行，求的值；

②若点是边的中点，问在点运动的过程中，能否成为等腰三角形？若能，求出的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①值为5或6；②存在，符合要求的值为9或10或．

【解析】

（1）根据比例设，，，可得，然后根据勾股定理可得，从而证出结论；

（2）根据三角形的面积即可求出BD、AD、CD、AB和AC，然后根据题意可知，，

①根据平行的情况分类讨论，根据平行线的性质、等角对等边证出相等的边，最后列方程即可求出结论；

②根据点M的位置和等腰三角形腰的情况分类讨论，分别用含t的式子表示出各个边，利用等腰三角形的腰相等列出方程即可求出结论．

（1）证明：设，，，

则，

在中，，

∴，

∴是等腰三角形；

（2）解：由（1）知，，

∴，而，

∴，

则，，，

由运动知，，，

①当时，

∴∠AMN=∠B，∠ANM=∠ACB

∵

∴∠B=∠ACB

∴∠AMN=∠ANM

∴，

即，

∴；

当时，

∴∠ADN=∠B，∠AND=∠ACB

∵

∴∠B=∠ACB

∴∠ADN=∠AND

∴，

∴，

∵D、M均在AB上，故不存在DM∥BC

综上：若的边与平行时，值为5或6．

②存在，理由：

Ⅰ．当点在上，即时，为钝角三角形，；

Ⅱ．当时，点运动到，不构成三角形

Ⅲ．当点在上，即时，为等腰三角形，有3种可能．

∵点是边的中点，

∴

当，则，

∴；

当，则点运动到点，

∴；

当，

如图，过点作垂直于，

∵，

∴，

在中，；

∵，，

∴

在中，，

∴．

综上所述，符合要求的值为9或10或．