Question

如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC，直径AD交BC于点E，F是OE的中点．
（1）如果BD∥CF，求证：AE=5DE；
（2）在（1）的条件下，若BC=，求线段CD的长度．

Answer 1

解：（1）∵AD是⊙O直径，
∴∠ABD=∠ACD=90°．
又AB=AC，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD，
∴BD=CD．
由垂径定理可得：BE=CE，且BC⊥AD．
∵BD∥CF，
∴△BDE≌△CFE，
∴CF=BD=CD．
又BC⊥AD，
∴E是DF中点，
又F是OE中点，
∴OF=FE=ED=，即AE=5DE．

（2）∵BC=，由（1）知BE=CE=，
由△CDE∽△ACE，可得CE²=DE×AE，
∴DE=1，AE=5
由△CDE∽△ACD，可得
CD²=DE×AD，即CD²=6，
∴．
分析：（1）首先根据HL证明△ABD≌△ACD，得BD=CD，根据垂径定理，得BE=CE，且BC⊥AD，根据平行，得内错角相等，从而根据ASA证明△BDE≌△CFE，得DE=EF，从而证明结论；
（2）根据△CDE∽△ACE，结合（1）的结论即可求解．
点评：此题综合运用了全等三角形的判定和性质、垂径定理、相似三角形的判定和性质．