Question

如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，点P以一定的速度沿AC边由A向C运动，点Q以1cm/s速度沿CB边由C向B运动，设P、Q同时运动，且当一点运动到终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s）．
（1）若点P以cm/s的速度运动，
①当PQ∥AB时，求t的值；
②在①的条件下，试判断以PQ为直径的圆与直线AB的位置关系，并说明理由．
（2）若点P以1cm/s的速度运动，在整个运动过程中，以PQ为直径的圆能否与直线AB相切？若能，请求出运动时间t；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）①由PQ∥AB得CP：CA=CQ：CB列方程求t；
②作CE⊥AB，利用面积法分别求CE，CD，得DE=CE-CD，判断PQ=2DE是否成立；
（2）如图，利用相似比分别求PM、QN，O为PQ的中点，由梯形的中位线性质求OH，判断PQ与2OH的大小关系即可．
解答：解：（1）①如图1，依题意，得AP=t，CP=3-t，CQ=t，BQ=4-t，
∵PQ∥AB，
∴CP：CA=CQ：CB，即（3-t）：3=t：4，解得t=2，
②相交．
理由：作CE⊥AB，垂足为E，交PQ于D，当t=2时，
在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=5，则CE==2.4，
在Rt△PQC中，PC=1.5，CQ=2，由勾股定理得PQ=2.5，则CD==1.2，
∴DE=2.4-1.2=1.2，PQ＞DE，
∴以PQ为直径的圆与直线AB相交；

（2）在整个运动过程中，以PQ为直径的圆能与直线AB相切．
如图2，设PQ的中点为O，分别过P、O、Q三点作AB的垂线，垂足为M、H、N，
依题意，得AP=t，CP=3-t，CQ=t，BQ=4-t，PQ=，
由△APM∽△ABC，得PM=t，
由△QBN∽△ABC，得QN=（4-t），∴OH=（PM+QN）=，
当PQ=OH时，=，即49t²-174t+81=0，解得t=3或．
点评：本题考查了三角形相似的判定与性质．关键是根据已知条件作平行线，垂线，构造相似三角形求解．