Question

如图1，二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），OB=OC，tan∠ACO=

1

3

．

（1）求这个二次函数的表达式．
（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，求点E的坐标．
（3）平行于x轴的直线与抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求圆的半径．
（4）如图2，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积．

Answer 1

分析：（1）求二次函数的表达式，需要求出A、B、C三点坐标．已知B点坐标，且OB=OC，可知C（0，3），tan∠ACO=

1

3

，则点A坐标为（-1，0）．将A，B，C三点坐标代入关系式，可求得二次函数的表达式．
（2）已知抛物线关系式，先求出顶点D坐标，再求出直线CD的解析式，E是直线与x轴交点，可得E点坐标．
（3）分情况讨论，当圆在x轴上方时，根据题意可知，圆心必定在抛物线的对称轴上，设圆半径为r，则N的坐标为（r+1，r），将其代入抛物线解析式，可求出r的值．当圆在x轴的下方时，方法同上，只是N的坐标变为（r+1，-r），代入抛物线解析式即可求解．
（4）G在抛物线上，代入解析式求出G点坐标，设点P的坐标为（x，y），即（x，x²-2x-3）已知点A、G坐标，可求出线段AG的长度，以及直线AG的解析式，再根据点到直线的距离求出P到直线的距离，即为三角形AGP的高，从而用x表示出三角形的面积，然后求当面积最大时x的值．

解答：解：（1）由已知得：C（0，-3），A（-1，0）
将A、B、C三点的坐标代入得

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=-3

，
解得：

a=1 b=-2 c=-3

．
所以这个二次函数的表达式为：y=x²-2x-3．    

（2）存在，F点的坐标为（2，-3）
易得D（1，-4），所以直线CD的解析式为：y=-x-3，
故E点的坐标为（-3，0）．

（3）如图，①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R＞0），则N（R+1，R），
代入抛物线的表达式y=x²-2x-3，解得R=

1+ 17

2

②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r＞0），
则N（r+1，-r），
代入抛物线的表达式y=x²-2x-3，解得r=

-1+ 17

2

．
故圆的半径为

1+ 17

2

或

-1+ 17

2

．   

（4）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，
易得G（2，-3），直线AG为y=-x-1．
设P（x，x²-2x-3），则Q（x，-x-1），PQ=-x²+x+2．
S_△APG=S_△APQ+S_△GPQ=

1

2

（-x²+x+2）×3          
当x=

1

2

时，△APG的面积最大
此时P点的坐标为（

1

2

，-

15

4

），S_△APG的最大值为

27

8

．

点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，点与函数的关系，三角函数的性质以及圆的切线的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想，方程思想与分类讨论思想的应用．