Question

【题目】已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A、B（点A在点B的左侧），且AB=6.

（1）求这条抛物线的对称轴及表达式；

（2）在y轴上取点E（0,2），点F为第一象限内抛物线上一点，联结BF、EF，如果，求点F的坐标；

（3）在第（2）小题的条件下，点F在抛物线对称轴右侧，点P在轴上且在点B左侧，如果直线PF与y轴的夹角等于∠EBF，求点P的坐标.

Answer 1

【答案】（1），对称轴；（2）或；（3）

【解析】

（1）先将抛物线表达式化为顶点式，得出对称轴x=1,再根据抛物线与x轴两交点的距离为6，可以得出A,B两点的坐标，进而可求出解析式.

（2）利用S四边形OEFB=S△OEF+S△OBF列方程求解.

（3）找出两等角所在的三角形，构造一组相似三角形求解.

解：（1）将化为一般式得，

，

∴这条抛物线的对称轴为x=1.

又抛物线与轴交于点A、B（点A在点B的左侧），且AB=6，

∴根据对称性可得A,B两点的坐标分别为A(-2，0),B(4，0).

将A点坐标代入解析式，可解得m=,

∴所求抛物线的解析式为.

（2）设点F的坐标为（t, t2+t+4），如图1可知

S四边形OEFB=S△OEF+S△OBF

=×2×t+×4×（t2+t+4）=10，

解得，t=1或t=2,

∴点F的坐标为或.

（3）假设直线PF与y轴交于点H,抛物线与y轴交于点C,连接CF，

则根据题意得∠FHC=∠EBF,

由（2）得点F的坐标为(2,4)，又点C坐标为(0,4),

∴CF∥x轴，

过点F作FG⊥BE于点G，

有△CFH∽△GFB.

在△BEF中，根据已知点坐标可以求得BE=BF=2，EF=2，

根据面积法可求得FG=,∴BG=

设直线FP的解释式为y=kx+b,则OH=b,

∴CH=4-b,

∴

∴解得b=.

将点F的坐标（2,4）代入FP的解析式可得，k=,

即FP的解析式为y=x+,

令y=0,可得P点坐标为（-1,0）.