Question

（2007•海淀区一模）已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线l₁的解析式为y=-x²，将抛物线l₁平移后得到抛物线l₂，若抛物线l₂经过点（0，2），且其顶点A的横坐标为最小正整数．
（1）求抛物线l₂的解析式；
（2）说明将抛物线l₁如何平移得到抛物线l₂；
（3）若将抛物线l₂沿其对称轴继续上下平移，得到抛物线l₃，设抛物线l₃的顶点为B，直线OB与抛物线l₃的另一个交点为C．当OB=OC时，求点C的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线l₂经过点（0，2），即可求出c的值，再利用其顶点A的横坐标为最小正整数，求出b的值即可；
（2）根据配方法得出y=-x²+2x+2=-（x-1）²+3，即可得出图象的平移方向；
（3）利用OB=OC，且B、O、C三点在同一条直线上，点B与点C关于原点对称，进而得出点C的坐标为（-1，-m）代入抛物线l₃的解析式y=-（x-1）²+m，求出即可．

解答：解：（1）设抛物线l₂的解析式为y=-x²+bx+c．
∵点（0，2）在抛物线l₂上，
∴y=-x²+bx+2．
∵抛物线l₂的顶点的横坐标为1，
∴b=2．
∴l₂的解析式为y=-x²+2x+2．

（2）∵y=-x²+2x+2=-（x-1）²+3，
∴将抛物线l₁：y=-x²的图象向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，可以得到抛物线l₂．（答案不唯一）

（3）设顶点B的坐标为（1，m），
则抛物线l₃的解析式为y=-（x-1）²+m．
∵OB=OC，且B、O、C三点在同一条直线上，
∴点B与点C关于原点对称．
∴点C的坐标为（-1，-m）．
∵点C在抛物线l₃上，
∴-m=-（-1-1）²+m．
∴m=2．
∴点C的坐标为（-1，-2）．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及图象的平移和点的坐标性质，根据已知得出点B与点C关于原点对称，点C的坐标为（-1，-m）是解题关键．