Question

在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（，0），如下图所示；抛物线经过点B。

（1）求点B的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）过点B作BD轴，垂足为D

∵∠BCD＋∠ACD＝90°，∠ACO＋∠OAC＝90°

∴∠BCD＝∠CAO

又∵∠BDC＝∠COA＝90°，CB＝AC

∴△BCD≌△ACO            

∴BD＝OC＝1，CD＝OA＝2

∴点B的坐标为（－3，1）   

（2）抛物线经过点B（－3，1），则得

解得，所以抛物线解析式为    

（3）假设存在P、Q两点，使得△ACP是直角三角形：

①若以AC为直角边，点C为直角顶点；

则延长BC至点P₁，使得P₁C＝BC，得到等腰直角三角形△ACP₁

过点P₁作P₁M轴

∵C P₁＝BC，∠MC P₁＝∠BCD，∠P₁MC＝∠BDC＝90°

∴△M P₁C≌△DBC

∴CM＝CD＝2，∴P₁M＝BD＝1，可求得点P₁（1，－1）

再证点P₁在抛物线上      

②若以AC为直角边，点A为直角顶点；

则过点A作AP₂⊥CA，且使得A P₂＝AC，得到等腰直角三角形△AC P₂

过点P₂作P₂N，同理可证△AP₂N≌△CAO

∴N P₂＝OA＝2，AN＝OC＝1，可求得点P₂（2，1）

再证点P₂在抛物线上      

当时，

当时，

所以，在抛物线上还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形。