Question

19．如图，一次函数y=-$\frac{3}{4}$x+6的图象分别交y轴、x轴交于点A、B，点P从点B出发，沿射线BA以每秒1个单位的速度出发，设点P的运动时间为t秒．
（1）点P在运动过程中，若某一时刻，△OPA的面积为12，求此时P的坐标；
（2）在整个运动过程中，当t为何值时，△AOP为等腰三角形？（只需写出t的值，无需解答过程）

Answer 1

分析 （1）根据坐标轴上点的坐标特征可求得A、B的坐标，用m表示出点P的坐标，利用面积可求得m的值，进一步求得P点坐标；
（2）可用t表示出BP、AP的长，分AP=AO、AP=OP和OP=AO三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值．

解答 解：（1）当x=0时，y=6，
当y=0时，x=8，
则A（0，6），B（8，0），
AB=10，
设点P的坐标为（m，-$\frac{3}{4}$m+6），
∵△OPA的面积为12，
∴$\frac{1}{2}$×6×|m|=12，
解得：m=±4，
∴点P的坐标为（-4，9）或（4，3）．
（2）由题意可知BP=t，AP=10-t，
当△AOP为等腰三角形时，有AP=AO、AP=OP和AO=OP三种情况．
①当AP=AO时，则有10-t=6，可解得t=4；
②当AP=OP时，过P作PM⊥AO，垂足为M，如图1，

则M为AO中点，故P为AB中点，此时t=5；
③当AO=OP时，过O作ON⊥AB，垂足为N，过P作PH⊥OB，垂足为H，如图2，

则AN=$\frac{1}{2}$AP=$\frac{1}{2}$（10-t），
∵PH∥AO，
∴△AOB∽△PHB，
∴$\frac{PB}{PH}$=$\frac{AB}{AO}$，即$\frac{t}{PH}$=$\frac{10}{6}$，
∴PH=$\frac{3}{5}$t，
又∠OAN+∠AON=∠OAN+PBH=90°，
∴∠AON=∠PBH，且∠ANO=∠PHB，
∴△ANO∽△PHB，
∴$\frac{PB}{AO}$=$\frac{PH}{AN}$，即$\frac{t}{6}$=$\frac{\frac{3}{5}}{\frac{1}{2}（10-t）}$，解得t=$\frac{14}{5}$．
综上可知当t的值为4、5和$\frac{14}{5}$时，△AOP为等腰三角形．

点评 本题主要考查一次函数的综合应用，涉及知识点有坐标轴上点的坐标特征，等腰三角形的性质，在（2）中分三种情况讨论，考查知识点较多，综合性较强，但所考查知识比较基础，难度适中．