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    已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y 轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3，过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA 于点E。
    （1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；
    （2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与 y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点 G，如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M 的横坐标为，那么EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
    （3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点 C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
    解：（1）∵OD平分∠AOC，
    ∴∠AOD=∠COD，
    ∵AB∥OC，
    ∴∠ADO=∠COD，
    ∴∠ADO=∠AOD，
    ∴AD=AO=2，
    ∴点D的坐标为（2，2），
    ∵OA=2，OC=3，
    ∴BD=1，
    ∵DE⊥DC，
    ∴∠ADE+∠BDC=90°，
    ∴∠ADE=∠BCD，
    ∵∠DAE=∠CBD=90°，AD=BC=2，
    ∴△ADE∽△BCD，
    ∴AE=BD=1，
    ∴点E的坐标为（0，1），
    ∵OC=3，
    ∴点C的坐标为（3，0），
    设过点E、D、C的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），
    将E、D、C三点坐标代入，得，解得，
    ∴；
    （2）EF=2OG成立，
    证明：把代入得，
    ∴点M的坐标为，
    设直线DM的解析式为y=kx+b（k≠0），
    则，解得，
    ∴，
    当x=0时，y=3，
    ∴点F的坐标为（0，3），
    ∴EF=2，
    作DH⊥OC于H，
    ∵DH=AD，∠GHD=∠FAD=90°，∠GDH=∠FDA，
    ∴△FAD≌△GHD，
    ∴GH=AF=1，
    ∴DG=1，
    ∴EF=2OG；
    （3）存在；
    ∵OG=1，
    ∴CG=2，
    ①当PG=CG=2时，PG⊥OC，
    ∴点P的坐标为（1，2），
    ∴把x=1代入得，
    ∴点Q的坐标为；
    ②当PC=CG时，PC⊥OC，
    ∴点P就是点B，坐标为（3，2），
    设直线BG的解析式为y=kx+b（k≠0），得出，解得，
    ∴y=x-1，
    ∵点Q是直线BG与抛物线的交点，
    ∴，
    解得或，
    又∵点Q在第一象限，
    ∴点Q的坐标为；
    ③当PG=PC时，点P在CG的垂直平分线上，
    ∴点P就是点D，点D也是点Q，坐标为（2，2），
    ∴综上所述，点Q的坐标为或或（2，2）。
    练习册系列答案
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    如图，在平面直角坐标系中，直y=
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    x
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，在平面直角坐标系中，原点O处有一乒乓球发射器向空中发射乒乓球，乒乓球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点落在X轴上为点B．有人在线段OB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让乒乓球落入桶内．已知OB=4米，OC=3米，乒乓球飞行最大高度MN=5米，圆柱形桶的直径为0.5，高为0.3米（乒乓球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．
    （1）求乒乓球飞行路线抛物线的解析式；
    （2）如果竖直摆放5个圆柱形桶时，乒乓球能不能落入桶内？
    （3）当竖直摆放圆柱形桶
    8，9，10，11或12
    8，9，10，11或12
    个时，乒乓球可以落入桶内？（直接写出满足条件的一个答案）

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知，如图1，在平面直角坐标系内，直线l1：y=-x+4与坐标轴分别相交于点A、B，与直线l2：y=
    13
    x    相交于点C．
    （1）求点C的坐标；
    （2）如图1，平行于y轴的直线x=1交直线l1于点E，交直线l2于点D，平行于y轴的直x=a交直线l1于点M，交直线l2于点N，若MN=2ED，求a的值；
    （3）如图2，点P是第四象限内一点，且∠BPO=135°，连接AP，探究AP与BP之间的位置关系，并证明你的结论．

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    科目：初中数学 来源：2012届重庆万州区岩口复兴学校九年级下第一次月考数学试卷（带解析） 题型：解答题

    已知：直角梯形AOBC在平面直角坐标系中的位置如图，若AC∥OB，OC平分∠AOB，CB⊥x轴于B，点A坐标为(3 ，4). 点P从原点O开始以2个单位/秒速度沿x轴正向运动 ；同时，一条平行于x轴的直线从AC开始以1个单位/秒速度竖直向下运动 ，交OA于点D，交OC于点M，交BC于点E. 当点P到达点B时，直线也随即停止运动.

    （1）求出点C的坐标；
    （2）在这一运动过程中, 四边形OPEM是什么四边形？请说明理由。若
    用y表示四边形OPEM的面积 ，直接写出y关于t的函数关系式及t的
    范围；并求出当四边形OPEM的面积y的最大值？
    （3）在整个运动过程中，是否存在某个t值，使⊿MPB为等腰三角形？
    若有，请求出所有满足要求的t值.

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    科目：初中数学 来源：2013年浙江省湖州市中考数学模拟试卷（十一）（解析版） 题型：解答题

    如图，在平面直角坐标系中，原点O处有一乒乓球发射器向空中发射乒乓球，乒乓球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点落在X轴上为点B．有人在线段OB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让乒乓球落入桶内．已知OB=4米，OC=3米，乒乓球飞行最大高度MN=5米，圆柱形桶的直径为0.5，高为0.3米（乒乓球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．
    （1）求乒乓球飞行路线抛物线的解析式；
    （2）如果竖直摆放5个圆柱形桶时，乒乓球能不能落入桶内？
    （3）当竖直摆放圆柱形桶______个时，乒乓球可以落入桶内？（直接写出满足条件的一个答案）

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