Question

已知等边△ABC，JP在射线BA上.

BA

AP

=n，（n≠1）
（1）如图1，当n=2时，过点P作PF⊥BC于F，交AC于点E．求证：AE=EC；
（2）如图2，点D在BC的延长线上，BC=CD，PC=PD，求n的值；
（3）若点P在射线BA上，D在直线BC上，PC=PD，那么

AC

CD

=

n

1-n

（用含n的式子表示）．

Answer 1

分析：（1）根据等边三角形的性质可得∠B=∠BAC=∠C=60°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠P=30°，然后求出∠AEP=30°，从而得到∠P=∠AEP，根据等角对等边可得AP=AE，然后根据n=2求出AB=2AP，再求出AC=2AE，从而得到AE=EC；
（2）过P作PM∥AC交BC的延长线于M，然后求出△BPM是等边三角形，根据等边三角形的性质可得PB=PM，再利用“角角边”证明△PBC和△PMD 全等，根据全等三角形对应边相等BC=DM，然后求出BP=3BA，再求出

BA

AP

即可得解；
（3）与（2）的求解相同求出BC=DM，列出n的表示，然后整理即可得到

AC

CD

的值．

解答：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠BAC=∠C=60°，
∵PF⊥BC，
∴∠P=30°，
∴∠AEP=∠BAC-∠P=30°，
∴∠P=∠AEP，
∴AP=AE，
∵n=2，
∴AB=2AP，而AB=AC，
∴AC=2AE，
∴AE=EC．

（2）证明：如图2，过P作PM∥AC交BC的延长线于M．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠BAC=∠ACB=60°，
∴∠M=∠ACB=60°，∠APM=∠BAC=60°，
∴△BPM是等边三角形，
∴PB=PM，
∵PC=PD，
∴∠PCD=∠PDC，
∴∠PCB=∠PDM，
在△PBC和△PMD中，

∠B=∠M=60° ∠PCB=∠PDM PB=PM

，
∴△PBC≌△PMD （AAS），
∴BC=DM，
∵BC=CD，
∴BC=CD=DM=

1

3

BM，
又∵BC=BA，BM=BP，
∴BP=3BA，
∴AP=2AB，
∴n=

BA

AP

=

1

2

；

（3）解：如图3，
与（2）方法相同求出BC=DM，
所以，n=

BA

AP

=

AC

CD+DM

=

AC

CD+AC

，
∴

AC

CD

=

n

1-n

．
故答案为：

n

1-n

．

点评：本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，过某一点作已知等边三角形某边的平行线构造一个新的等边三角形，这是解决等边三角形常用的方法之一．