Question

【题目】如图，二次函数的图象与一次函数的图象相交于、两点，从点和点分别引平行于轴的直线与轴分别交于，两点，点为线段上的动点，过点且平行于轴的直线与抛物线和直线分别交于，．

（1）求一次函数和二次函数的解析式，并求出点的坐标．

（2）当SR=2RP时，计算线段SR的长．

（3）若线段BD上有一动点Q且其纵坐标为t+3，问是否存在t的值，使．若存在，求的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x+4，y=x2，B（4，8）；（2）或4；（3）-1．

【解析】（1）将A点坐标分别代入抛物线和直线的解析式中即可求出两函数的解析式．然后联立两函数的函数式形成方程组，即可求出B点的坐标．

（2）线段SR实际是直线AB的函数值和抛物线函数值的差．而RP的长实际是R点的纵坐标，根据SR=2RP可得出一个关于P点横坐标t的方程，据此可求出P点的横坐标t．然后代入SR的表达式即可求出SR的长．

（3）可用t表示出BQ的长，再根据D，P的坐标用t表示出R到BD的距离，然后根据三角形的面积公式即可得出△BRQ的面积表达式，根据其面积为15可求出t的值．

解：（1）由题意知点A（-2，2）在y=ax2的图象上，

又在y=x+b的图象上，

所以得2=a（-2）2和2=-2+b，

∴a=，b=4，

∴一次函数的解析式为y=x+4，

二次函数的解析式为y=x2，

由，解得，

所以B点的坐标为（4，8）；

（2）因过点P（t，0）且平行于y轴的直线为x=t，

所以点S的坐标（t，t+4），点R的坐标（t，t2），

所以SR=t+4-t2，RP=t2，

由SR=2RP得t+4-t2=2×t2，

解得t=-或t=2，

因点P（t，0）为线段CD上的动点，所以-2≤t≤4，

所以t=-或t=2，

当t=-时，

当t=2时，SR=2+4-×22=4，

所以线段SR的长为或4；

（3）因BQ=8-（t+3）=5-t，

点R到直线BD的距离为4-t，

所以S△BPQ=，

解得t=-1或t=10，

因为-2≤t≤4，所以t=-1.