Question

16．如图，扇形OAB的圆心角为90°，点C，D是弧AB的三等分点，半径OC，OD分别与弦AB交于点E，F，下列说法错误的是（　　）

• A． AE=EF=FB
• B． AC=CD=DB
• C． EC=FD
• D． ∠DFB=75°

Answer 1

分析 由三角形内角和定理求出∠OCD的度数，根据三角形外角的性质得出∠OEF及∠OFE的度数，由此即可得出结论；根据三角形内角和定理即可得出∠AEO的度数；连接AC，BD，可得出CD=AE=BF，由②可知EF∥CD，所以EF＜CD，故可得出结论．

解答 解：∵点C，D是弧AB的三等分点，
∴AC=CD=DB，∴选项B正确；
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∵∠AOC=∠BOD=30°，
∴∠OEF=∠OAB+∠AOC=45°+30°=75°，同理∠OFE=75°，
∴OE=OF，
∵OC=OD，
∴CE=DF，选项C正确；
连接AC，BD，
∵由选项C知，OC=OD，OE=OF，
∴EF∥CD，
∴EF＜CD，
∵C，D是$\widehat{AB}$的三等分点，
∴AC=CD=BD，
∵∠AOC=∠COD，OA=OC=OD，
∴△ACO≌△DCO．
∴∠ACO=∠OCD．
∵∠OEF=∠OAE+∠AOE=45°+30°=75°，故选项D正确；
∠OCD=$\frac{180°-30°}{2}$=75°，
∴∠OEF=∠OCD，
∴CD∥AB，
∴∠AEC=∠OCD，
∴∠ACO=∠AEC．
故AC=AE，
同理，BF=BD．
又∵AC=CD=BD
∴CD=AE=BF≠EF，故选项A错误；
故选A．

点评 本题考查的是圆的综合题，涉及到等腰三角形的性质、全等三角形的判定定理等知识，难度适中．